早期人口模型的演变

巴英

摘要：人口模型是描述一地区人口总量和结构变动规律的系统动力学模型。总人口和出生人口数形成一个正反馈回路,它决定总人口的增长。总人口与死亡人数构成一个负反馈回路，它决定总人口的减少。整个人口系统由这正、负反馈回路耦合而成，总人口的增长趋势则取决于这两个反馈回路相互作用的结果。本文着重介绍了两个早期人口模型，Malthus指数增长模型和Logistic阻滞增长模型，对它们产生的背景、变迁、适用周期以及各自利弊和比较，均做了详细阐述。

关键词：数学模型，人口问题，微分方程，指数增长模型，阻滞增长模型。

前言

人口问题是当今世界持续关注的问题，关联着人类的经济生活和社会发展。早在十八世纪的时候，人们就已经开始了人口的统计和预报工作了，两百年来，相继建立和发展了许多数学模型，早期的Malthus指数增长模型和Logistic阻滞增长模型，就是其中最典型的两个模型，它们都在特定的时间段内和特定的历史背景下，对研究人口这个复杂的社会问题，科学优化人口结构，推动科学技术的进步和人类社会的发展，起到了重要且积极的作用，以下做详细概述。

一、Malthus指数增长模型

托马斯·罗伯特·马尔萨斯（Thomas Robert Malthus，1766年-1834年），英国教士、人口学家、经济学家，出生于一个富有的家庭，年幼时在家接受教育，直到1784年被剑桥大学耶稣学院录取。他在那里学习了许多课程，并且在辩论、拉丁文和希腊文课程中获奖，主修科目是数学。1791年他获得硕士学位，并且在两年后当选为耶稣学院院士，马尔萨斯以其人口理论闻名于世。马尔萨斯在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年的资料，发现了一个统计学规律：人口出生是一个常数。1798年，他在著作《人口原理》中，以人口的增长率为常数作为基本假设，即单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比，建立了数学模型，获得如下线性系统：

其中表示时刻人口的数量，常数表示人口的增长率 。本质上，这个初值问题就是求一个可以分量变量型方程的特解，经过分离变量和两边积分，很快可以得到指数形式特解。

根据这个计算结果，马尔萨斯得出结论：如果人口按几何级数增长，而生活资源只能按算术级数增长，那么不可避免地要导致饥馑、战争和疾病；于是他积极呼吁，采取果断措施，遏制人口出生率。

Malthus指数增长模型，比较适合一些人口增长率长期保持不变的国家和地区，比如十九世纪前的欧洲地区，以及移居加拿大的法国移民后代人口，模型预报和统计数据之间十分吻合。但是十九世纪后，差异越来越大，以美国为例，以十年为单位，以三个时间阶段和人口增长率的数据对比，列表如下：

1790年-1800年 人口增长率0.307

1800年-1900年 人口增长率0.266

1900年-1980年 人口增长率0.137

不难发现，在十九世纪，二十世纪的将近两百年的时间里，人口的平均增长率，不再保持常数，而是呈现明显的下降态势。其中原因，主要还是随着人口的增长，自然资源和环境条件等因素对人口持续增长的阻滞作用越来越明显。在这种情况下，修改原有人口增长率为常数的基本假设，升级原有模型成为必然，于是Logistic阻滞增长模型诞生了。

二、Logistic阻滞增长模型

韦吕勒 (Verhulst,Pierre一Francois, 1804-1849)比利时社会学家、数学家，生于比利时的布鲁塞尔，卒于布鲁塞尔，曾任布鲁塞尔私立学校和皇家军事学院教授，1841年成为比利时皇家科学院院士，1848年当选为科学院主席。他致力于社会统计学研究，1846年，他经过分析给出论证，推断阻碍人口增长的因素正比于“过剩”人口对总人口的比率，进而推算出比利时人口的上极限为9400000人(到1967年比利时实际人口约为9581000)。他的这一工作为现代人口理论的研究提供了大量有价值的材料。

韦吕勒假设人口增长率不再是常数，而是时刻人口的函数，为了体现人口增长的阻滞作用，则它应设定为减函数。为了计算方便，在减函数中选取了形式最为简单的线性减函数,即，而表示时的人口增长率，即固有增长率。为了确定系数的意义,引人自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数据这个概念 ，称为最大人口数量，记作。当时，人口不再增长,即此时增长率为，由此确定，于是人口增长率函数为。于是，建立新模型Logistic阻滞增长模型如下：

与Malthus指数增长模型一样，这个初值问题也是求一个可以分量变量型方程的特解，经过分离变量和两边积分等计算过程后，类似地也可以得到如下特解。

Logistic阻滞增长模型一直用到1930年，但之后也逐渐显示出不准确性，主要原因是最大人口数量是一个统计学数据，不容易准确获得。其次，由于它参数少，形式较为简单，因而不够精细，比如它没有考虑到人口的年龄结构、性别比、迁入迁出等因素的影响。再者，Logistic阻滞增长模型假设人口的净增长速率由当下的总人口瞬时地决定，而实际的人口动力学由于年龄结构的影响，带有很强的延迟性。此外，通常在非战争、饥荒条件下，人口的增长和死亡主要受生育政策和医疗条件等人为可控因素影响，而环境天花板的概念通常更适用于动物种群数量的建模。

Logistic阻滞增长模型作为Malthus指数增长模型的推广，从其问世以来，它的应用从人口增长模型拓展到很多领域，广泛应用于生物学、医学、经济管理学等方面，因此它已经不再是单纯的人口模型了。

三、两个人口模型的比较

Malthus指数增长模型和Logistic 阻滞增长模型共同点是，它们都是确定性的、只考虑人口总数的连续时间模型，它们都在一定时期内，完成了人口预测的历史使命。两者的区别在于，它们对人口数量的变化率的定义不同，具体地说，Malthus指数增长模型认为人口数量的变化率为常数，而Logistic阻滞增长模型认为人口数量的变化率是一个随着人口数量的增加而线性递减的函数。

结束语

后期随着研究的深入发展，以一偏微分方程为工具，建立了考虑年龄分布的连续模型，十分便于理论分析。基于连续模型在实际应用中不是很方便，还有建立离散模型，比如随机性模型。这些后期模型，与实际越来越接近，具有一定的通用性，更好地服务人类社会。

参考文献

[1]王高雄主编，《常微分方程》第三版，高等教育出版社 ，2006。

[2]姜启源，《数学模型》第二版，高等教育出版社，1993年。

[3]WILLIAM F LUCASZ主编，《微分方程模型》，国防科技大学社，1998。年