三角形中位线的几种证明方法

波泽

1.中位线定义：

中位线是连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2.三角形中位线的个数：

一个三角形有三条中位线。

3.三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

4. 三角形中位线定理的几种证明方法：

△ABC中，点D和E分别是AB和AC的中点，证明：DE∥BC,DE=BC

证明方法1：如图，延长中位线DE到F点，使EF=DE，连接CF。

           中，

∴△ADE△CEF。

∴AD∥FC,AD=FC，

∴BD∥FC,BC=FC，

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DF∥BC,DF=BC。

∵DE=DF,

∴DE=BC,DE∥BC。

证明方法2：如图，过点C作CF∥AB交DE的延长线交于点F,

∵CF∥AB

∴∠A=∠ECF

△ADE和△CEF中，

∴△ADE△CEF。

∴AD∥FC,AD=FC，

∴BD∥FC,BC=FC，

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DF∥BC,DF=BC.

∵DE=DF,

∴DE=BC,DE∥BC.

证明方法3：如图，延长中位线DE交于F点，使EF =DE,连接FC、DC、AF.

∵AE=EC，DE=EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

       ∵ CF∥DA，CF=DA。

∴ CF∥BD，CF=BD。

∴四边形BDCF是平行四边形，

又  DE=DF

   ∴DE∥BC且DE=BC。

证明方法4：如图，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，得四边形ABMN是平行四边形。

 △AEM和△CEN中，

∵∠M=∠ENC

∠MEA=∠CEN    

AE=CE

∴ △AEM拜爸△CEN

∴ME=NE

∴

四边形ADEM和四边形BDEN都是平行四边形。

∴DE=AM=NC=BN，DE∥BC，

所以DE∥BC，DE=BC。

证明方法5：如图，三个顶点分别作底边的垂线，垂足分别P、M、N，四边形BCNM是矩形。

∴MN=BC

     △APD和△BMD中

∵∠APD=∠BMD

∠ADP=∠BDM

AD=BD

∴△APD△BMD

∴MD=PD

同理PE=NE

∴DE∥BC，DE=BC。

参考资料：1、总主编薛金星《中学教材全解》

2、编译组长旺堆《数学》八年级 上册