十字轴万向节的传动非线性分析

中航西安飞机工业集团股份有限公司，陕西 西安 710089

摘要：十字轴万向节的两轴线之间夹角反映了万向节的固有特性。本文利用向量法推导了十字轴万向节传动过程中的转角、转矩的传动公式，讨论了传动过程中的运动学的非线性性质。在运动学上，讨论了转角公式的使用场景，推导了当十字轴的万向节主动端具有一定初始转动角度时的更为一般化的转角公式。

关键字：十字轴万向节；向量法；非线性传动；转角公式；轴间夹角

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1引言

十字轴万向节主动轴和从动轴两轴线之间具有一定轴间夹角，使用十字轴万向节可以充分利用空间实现传动过程方向或扭矩的变化。在轴间夹角不为0时，即使在主动轴匀速转动时，十字轴万向节主动端与从动端的转动角速度、转矩不相等，转动时会产生转角差[1,2]。

在运动学方面，十字轴万向节经典的传动公式基于主动轴或从动轴垂直于十字轴平面，但在实际情况中，十字轴的初始角度可能与主动端和从动端都不垂直，从而不能直接使用经典公式进行传动关系。在此类场景中使用传动公式，需要对其进行一般化处理。

在运动学方面，由于轴间夹角不为0，即使主动轴匀速转动，从动轴的角速度和角加速度会发生周期性的变化，从而产生交变扭矩，交变扭矩的振幅越大，对轴段产生的附加应力也越大，越容易造成轴段的损坏和疲劳[3,4]。对轴间夹角和从动轴扭矩振幅之间的关系进行探究，可以从设计之初避免扭矩变化产生的不利影响。

本文从理论上推导了万向节传动非线性的来源，推导了其运动学的非线性的一般性质。

2传动关系

2.1十字轴万向节模型

十字轴万向节由两个万向节叉和一个十字轴组成。两个万向节叉分别为输入端和输出端，所成夹角记为。

2.2传动公式的推导

如图1所示，设轴1为主动轴，轴2为从动轴，假设在初始位置时，轴2与十字轴平面AOB垂直，轴2与轴1之间的轴间夹角为，以十字轴中心为原点O，以轴1为y轴，OA为z轴，建立右手空间直角坐标系Oxyz，则BO与x轴之间的夹角为。设x、y、z轴的单位向量分别为、和，另设转动过程中始终与轴1垂直的轴（OA）的单位向量为，始终与轴2垂直的轴（OB）的单位向量为。

图1 十字轴万向节传动关系示意图

设主动轴转动角度为，对应OA在1轴法平面（平面xOz）转动到OA’点，经过万向节传动，从动轴转动角度为，对应OB在轴2法平面（平面BOz）转动到B’点。由空间几何可知：

	(1)
	(2)

由于十字轴两轴（OA和OB）在运动过程中始终正交，则有

(3)

联立方程可得

(4)

上式的使用场景是初始位置为轴2垂直于十字轴，而与轴2是主动轴或从动轴无关，但在一些文献和实际应用中，这一条件往往被忽略，而直接套用公式，这是需要注意的。

2.3角速度波动

主动轴转动速度与从动轴转动速度为转动角度对时间的导数，即

	(5)
	(6)

式（4）两边对t求导，可得

(7)

使用半角公式

(8)

在主动轴轴1的一个转动周期内，即时，从动轴转速的波动范围为

(9)

设转速传动比为,则有

(10)

根据式（10）可得，是的周期函数，周期为180°，所以在主动轴的360°的1个运动周期内，从动轴做2个周期的运动。在一个周期内，会随主动轴转角变化发生不均匀变化，其变化范围为：

(11)

图2给出了不同角度下，随主动轴转动角度的变化曲线。从图中可以看出，当为0时，恒等于1，主动轴与从动轴进行1:1传动；当不为0时，随的变化呈现周期性变化，假设初始状态时从动轴垂直于两个十字轴（初始相位为0，即图1），主动轴开始转动时，，从动轴转速小于主动轴，随后，，从动轴转速大于主动轴，即传动存在不均匀性，且这种不均匀的程度随着角度的增加而增加。所以，十字轴万向节从动轴会在主动轴的一个转动周期中，进行两次转速周期性变化的挠性摆动，从而引起转矩的波动和角加速度的周期性变化。

图2 不同角度下从动轴转速随的变化曲线

考虑主动轴1个转动周期内的波动量，构造函数

	(12)

图3 转速传动比波动量随的变化曲线

图3为随的变化曲线，从图中可以看出随的增加而增大，当左右时，波动量已经达到了0.3左右，在超过30°后，波动量随之迅速增加，在65°附近达到2左右。这表明在设计万向节时，为降低其传动非线性的波动程度，需合理考虑其特征角度。

2.4转矩波动

设作用于两轴上的转矩分别为和，忽略传动过程中的摩擦，假设传动过程中没有机械能的损失，则有

(13)

所以，有

(14)

根据式（9）和式（10）可得，主动轴与从动轴之间的转矩比也呈现周期性变化，其波动规律与转速传动比相反。

从动轴转矩的变化范围为：

(15)

从动轴转速和转矩的周期性波动，会产生附加载荷、扭转振动和噪声等。

3转动起始位置对从动轴转角的影响

3.1转动角度的非线性

为理解式（4）中万向节主动轴和从动轴传动关系的非线性，对和之间关系中的线性性质进行推导。假设十字轴万向节从动端与舵面相连，在初始状态时，从动端与十字轴平面垂直。

式（4）可写为

(16)

对上式进行在时的泰勒展开，得

(17)

图4 不同角度下误差函数随的变化曲线

当主动轴转动角度较小时，忽略上式中的高阶量，上式与线性关系之间的误差为：

(18)

显然，轴间夹角越大，误差越大，传动关系的非线性程度越大，如图4所示，当主动轴转动角度较小时（），较小且变化平缓，随着转动角度增大，迅速增大，随着轴间夹角的增大和转动角度的增大，从动轴与主动轴之间的传动关系将迅速呈现出非线性性质。

由此可见，不能在不考虑和的前提下简单地将万向节传动过程视为线性过程，应考虑使用式（16）去计算从动端的角位移。

3.2传动关系的一般化公式

当十字轴万向节的初始位置恰好都不与主动轴、从动轴垂直，即主动轴转角具有不为0的初始相位，如图5所示，则式（4）或（16）不能直接使用，需要进行初始化处理。

图5 具有初始角十字轴万向节传动示意图

假设万向节的初始位置为相对于图1中万向节两轴的位置，轴1沿y轴反方向视图的逆时针转动了的角度，则轴2相应转动，以此为转动的正方向，相应的，与此方向相反的转动角度为负。

根据式（4），有

(19)

假设相对于初始位置，1轴和2轴的转动角度分别为和，则有

(20)

即

(21)

上式即为具有一定初始角度的十字轴万向节传动过程主动轴与从动轴转动角度之间的关系式，是更为一般化的公式。

4结论

本文研究了十字轴万向节主动轴与从动轴之间的非线性传动关系及其性质，利用向量法证明了经典的转角传动关系式，在此基础上，从运动学角度讨论了转角公式的使用场景，并推导了更为一般化的转角公式，以便于普通的传动计算。本文推导了主动轴从动轴的转速传动比与轴间夹角的函数关系，当主动轴匀速转动时，由于轴间夹角的存在，从动轴的转速仍然会发生周期性的波动，且轴间夹角越大其波动量也越大，会引起扭矩的波动，在万向节系统设计时应予以考虑。

参考文献

[1] 徐翔，周瑞平，汪萌生，祁亮. 基于MATLAB的万向联轴器非线性扭振仿真[J]. 武汉理工大学学报，2011，11: 135-138.

[2] 马晓三，于治福，商德勇. 十字轴万向传动轴输出角速度特性分析[J]. 机械科学与技术，2011，10：1766-1770.

[3] 彭迪. 轧制钢十字万向转动系统扭振分析及结构优化[D]. 合肥工业大学，2014.

[4] 杨林，张发勇. 基于十字轴万向节工作夹角向量的传动系扭振研究[J]. 机械工程与自动化，2019，2：23-25.