基于交叉熵算法和遗传算法的边坡稳定性分析

肖锋芒1，张明辉2

摘  要：如何有效地识别出边坡危险滑动面一直是边坡稳定性分析的关键问题。传统优化算法往往不能有效地搜索安全系数的全局最小解与相应的边坡危险滑动面。为此，提出基于交叉熵算法和遗传算法的两种危险滑动面识别方法，建立了两套搜索边坡最小安全系数和危险滑动面中心坐标与半径的数值程序，并将其与GeoStudio作对比，以均质土坡的三个算例验证了所提方法和数值程序的有效性。结果表明：本研究提出的交叉熵算法程序和遗传算法程序可以有效识别危险滑动面并计算相应边坡安全系数，其中交叉熵算法的判定系数R2最高，表现最优。

关  键  词：稳定性分析；毕肖普法；危险滑动面；交叉熵算法；遗传算法

1 引言

随着国家“一带一路”战略方针的实施，大量的铁路、高速公路等基础设施将修建于山区和丘陵地带，使得沿线边坡地质灾害问题日益凸出。而且相关工程往往规模宏大，耗资巨万，一旦发生边坡失稳，带来的损失会相当巨大，因此边坡稳定性分析一直以来是研究的热点问题。目前，边坡稳定性分析方法主要有极限平衡法、有限元法、离散元法等。极限平衡法由于方法简单，结果可靠，目前它仍然是分析边坡稳定性的主要方法之一。而极限平衡法在分析边坡稳定性时,需要确定危险滑动面才能进行计算。

2 边坡稳定性分析算法

本研究系统地对比了瑞典条分法、毕肖普法和简布法等几种常用边坡稳定性分析条分法的区别与联系，最终采用误差较小的毕肖普法作为本文的边坡稳定性分析算法。毕肖普法基于极限平衡原理，把滑裂土体当作刚体绕圆心旋转，其计算时考虑了土条之间垂直方向的相互作用力，并分条计算其滑动力与抗滑力，最后求出抗滑力与滑动力之比作为稳定安全系数。相对瑞典条分法，其是一种改进的圆弧滑动条分法，

3 危险滑动面搜索算法

本研究通过对以往研究进行总结，系统对比了边坡稳定性分析中常用的危险滑动面启发式搜索算法，认为与模拟退火、禁忌搜索、引导式局部搜索、蚁群算法等局部启发法相比，遗传算法和交叉熵算法不论是在求解精度，还是在计算效率方面均表现出良好的优势。因此，采用遗传算法和交叉熵算法进行边坡危险滑动面的搜索。

3.1 遗传算法

遗传算法基于达尔文进化论的原理，通过数学的方式，利用计算机仿真运算，将问题的求解过程转换成类似生物种群进化中的染色体基因的交叉、变异等过程。在求解较为复杂的组合优化问题时，相比常规的优化算法通常能够获得较好的结果。

3.2 交叉熵算法

在测试遗传算法程序过程中发现其收敛速度较慢，运行稳定性不足，运算结果准确性也有待提高，因此进一步尝试挖掘交叉熵算法的应用潜能。交叉熵是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。交叉熵算法在1999年首次被Rubinstein当作自适应重要性抽样程序应用于稀有事件概率的评估。为了获取这个概率分布空间，需要在随机搜索时逐渐改变预测分布，使得预测分布逐步逼近真实分布，此时可以用交叉熵或KL散度来表示两种分布（预测分布和真实分布）的接近程度。通过比较两个概率分布的接近程度，并以此合理优化预测分布，可以大大地减少样品数量，从而提高计算速度。在危险滑面识别程序中，危险滑动面便是所发生的稀有事件，程序运用上一代计算结果更新下一代正态分布的均值和标准差，不断靠近真实的危险滑动面，同时用标准差来比较真实和预测的接近程度，最终得出结果。

4 边坡稳定性分析程序

4.1 基于遗传算法的稳定性分析程序

本研究在MATLAB中把遗传算法程序分为了5个模块，即main模块、Bishop模块、slopef模块、calculateFs模块和plotCriticalSlidingSurface模块。main模块是程序的入口，该模块含有遗传算法，是整个程序的核心。研究采用了谢菲尔德遗传算法工具箱，该工具箱可以满足程序应用遗传算法的需求。Bishop模块接收main模块传递的参数，对参数进行处理后传递给calculateFs模块，Bishop模块的主要作用是便于后期调试程序。calculateFs模块实现用毕肖普法计算Bishop模块传递过来的滑动面，并将计算结果返回给Bishop模块，Bishop模块再将结果返回给main模块。slopef模块描述边坡几何形状，辅助calculateFs模块工作。plotCriticalSlidingSurface模块在危险滑动面被识别出来后被main模块调用，绘制边坡的图形和危险滑动面的图形。经C++包装后的程序实现输入边坡的几何参数（坡高和坡角）和力学参数（内聚力、内摩擦角和重度）就能自动寻找最危险滑动面（安全系数最小的面）并输出最危险滑动面的位置（圆心坐标和半径），同时将该滑面在图框中予以表示并输出稳定安全系数。

由此可见，即使初始随机生成的安全系数较大，但随着算法的迭代，种群安全系数的均值和最小值都呈现出变小的趋势，该计算结果符合预期，达成了优化目标。

4.2 基于交叉熵算法的稳定性分析程序

交叉熵算法程序包含四个模块，分别是main、cecont、S和slopef。其中，main模块是程序入口，cecont是CE算法核心模块，S是边坡滑面毕肖普法计算模块，slopef描述边坡几何形状，辅助S工作。首先，在main中指定7个参数mu、sigma、rho、alpha、N、eps和FUN；然后，将参数传给cecont模块。cecont模块是整个交叉熵算法最核心也是最复杂的部分。在cecont模块的每次迭代过程中，利用正态分布N(ut-1,σ2t-1)函数模拟样本X1,...,XN。计算每个样本个体的适应度，并将样本个体根据适应度排序，进而更新均值mu和标准差sigma。当标准差sigma小于阈值eps时算法结束。ut和σt可以迅速地趋向于最优值，避免局部最优值。最后，实现输入边坡的几何参数（坡高和坡角）和力学参数（内聚力、内摩擦角和重度）就能自动寻找最危险滑动面（安全系数最小的面）并输出最危险滑动面的位置（圆心坐标和半径），同时输出稳定安全系数。

为展现交叉熵算法的运算效果，本研究统计了每一代样本安全系数的标准差和均值，即使初始随机生成的安全系数较大，但随着参数的更新迭代，样本安全系数的标准差和均值都呈现出变小的趋势，该计算结果符合预期，达成了优化目标。

5 算例分析

GeoStudio是加拿大GEOSLOPE公司研发的一套功能强大的适用于岩土工程和岩土环境模拟计算的仿真软件，已经商业应用多年，具备较好的参照价值。为验证自编程序的有效性，同时探索均质土坡的稳定安全系数与土体粘聚力、内摩擦角以及边坡坡角的关系，本研究将遗传算法程序、交叉熵算法程序和GeoStudio同时应用于多个边坡算例的稳定安全系数计算，并对比分析了三者的计算结果。

5.1 均质土坡的稳定安全系数与土体粘聚力关系

算例1为一均质土坡，坡高10m，倾角45°，土体重度18kN/m3，内摩擦角18°。本研究分别用交叉熵算法程序、遗传算法程序和GeoStudio计算该土坡在不同土体粘聚力情况下的安全系数，计算结果可见表1和图1。由图可知，在相同计算参数条件下，三者结果比较接近，遗传算法程序的计算结果往往偏大，GeoStudio次之，交叉熵算法程序最小，可以认为本研究的自编程序在计算结果方面达到了预期效果，而且交叉熵算法程序的结果比GeoStudio更偏于安全。另外从图中可以看出稳定安全系数和土体粘聚力接近线性关系，因此运用数学软件MATLAB进行线性拟合求出参数，并同时得出判定系数R2和均方误差MSE，如表2所示。

表1  不同土体粘聚力的边坡稳定安全系数计算结果

土体粘聚力(kPa)	交叉熵算法	GeoStudio	遗传算法
5	0.723	0.858	0.900
10	0.929	1.159	0.947
15	1.096	1.324	1.506
20	1.261	1.490	1.527
25	1.429	1.656	1.904
30	1.651	1.821	1.669
35	1.796	1.988	2.401

图1不同土体粘聚力的边坡稳定安全系数计算结果

可知交叉熵算法和GeoStudio的计算结果线性拟合得出的判定系数R2均在0.98以上，可见稳定安全系数和土体粘聚力的关系曲线线性拟合程度很好，二者高度线性相关，符合工程实践中二者成正相关的认知，且进一步明确了二者的线性关系。同时交叉熵算法计算结果拟合的判定系数R2最大，均方误差MSE最小，可以认为交叉熵算法的准确性和稳定性均较好。与之形成对比的是遗传算法，判定系数R2和均方误差MSE均最大，在图上也可以看出曲线呈跳跃性，准确性和稳定性不足。

5.2 均质土坡的稳定安全系数与土体内摩擦角及其正切值的关系

算例2为一均质土坡，坡高10m，倾角45°，土体重度18kN/m3，粘聚力10kPa。本研究分别用交叉熵算法程序、遗传算法程序和GeoStudio计算该土坡在不同土体内摩擦角情况下的安全系数。因为土体内摩擦角参与边坡稳定性分析计算时都是以正切值的形式，本研究同时探讨了稳定安全系数与土体内摩擦角及其正切值的关系。根据计算结果分别以内摩擦角和内摩擦角正切值为横轴。

可以看出稳定安全系数和土体内摩擦角及其正切值均接近线性关系，因此本研究尝试运用数学软件MATLAB进行线性拟合求出参数，并同时得出判定系数R2和均方误差MSE

可知交叉熵算法和GeoStudio的计算结果线性拟合得出的判定系数R2均在0.99以上，可见稳定安全系数和土体内摩擦角及其正切值的关系曲线线性拟合程度很好，都呈高度线性相关，符合工程实践中稳定安全系数和土体内摩擦角及其正切值成正相关的认知，且进一步明确其线性关系。

从交叉熵算法程序的角度看，判定系数R

2更大，均方误差MSE更小，稳定安全系数与土体内摩擦角正切值线性相关性更强；从GeoStudio和遗传算法的角度看，判定系数R2更大，均方误差MSE更小，稳定安全系数与土体内摩擦角线性相关性更强。所以无法断定稳定安全系数与土体内摩擦角及其正切值中哪一个线性相关性更强，但可以明确稳定安全系数与土体内摩擦角及其正切值线性相关性均较强。

5.3 均质土坡的稳定安全系数与土体粘聚力的关系

算例3为一均质土坡，坡高10m，土体重度18kN/m3，粘聚力10kPa，内摩擦角18°。本研究分别用交叉熵算法程序、遗传算法程序和GeoStudio计算该土坡在不同土坡坡角情况下的安全系数，根据计算结果以土坡坡角为横轴绘图。

可见稳定安全系数与土坡坡角明显不符合线性关系，所以尝试用MATLAB进行多种非线性函数（如二次函数、三次函数、对数函数、指数函数、幂函数等初等函数）的曲线拟合，对比之后认为三次函数的拟合效果最好，计算得出的拟合参数、判定系数R2和均方误差MSE。

可知交叉熵算法程序和GeoStudio的计算结果拟合得出的判定系数R2都在0.96以上，均方误差MSE也很小，尤其是交叉熵算法程序的判定系数R2在0.999以上，同时均方误差MSE不到万分之一，可以猜想稳定安全系数与土坡坡角呈三次函数关系，具体细节可以在试验模拟和工程实践中做进一步的验证。

6 结论

本研究采用了交叉熵算法与遗传算法识别边坡危险滑动面，并以MATLAB为平台构建了两套搜索边坡最小安全系数和危险滑动面中心坐标与半径的算法程序，并将GeoStudio作为对比基准，进行了均质土坡三个算例的对比，对比结果表明：本研究自建的交叉熵算法程序和遗传算法程序在选择危险滑动面方面达到了预期效果，并且三个算例中交叉熵算法的判定系数均R2大于GeoStudio，说明其拟合优度更高，选择更为准确，其边坡稳定性分析的结果是可信的。

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