悬索桥短吊索索力测试与计算方法论述

吴 湛

摘要: 在广泛查阅悬索桥短吊索索力测试与计算方法的基础上，概括了几种有效的索力测试及计算方法，并总结了其相关不足之处。以某自锚式悬索桥为实例，通过有限元软件识别了吊索抗弯刚度，修正了吊索有效计算长度，通过现场测试与分析，验证了两种短吊索索力计算实用公式的精度，为悬索桥短吊索索力测试及计算提供了有益参考。

关键词： 悬索桥 短吊索 索力 抗弯刚度 有限元软件 有效计算长度

1 引 言

近几十年来，伴随着国家交通建设的快速发展、悬索桥计算理论^[1]的更新进步，大跨度悬索桥在国内的应用迅猛增加，使得对悬索桥的计算控制、检测水平要求也越来越高。悬索桥吊索是悬索桥最重要的结构构件之一，它把桥面荷载直接传递到承重缆索，连接着主梁与主缆。吊索索力大小是确定主梁与主缆成桥状态真实索形及内力的关键因素，也是桥梁状况评估的重要指标之一。因此，无论在桥梁施工过程还是成桥以后，准确测取吊索索力显得十分重要。

目前，索力测量的方法主要有油压表法、传感器法、磁通量法^[2]、频率法等，由于频率法在测量仪器携带、使用、操作等方面简单方便，所以应用较为广泛^[3]。悬索桥短吊索实际构造较为复杂，如果采用基于传统弦理论的解析公式，其计算精度不能得以保证^[4]，必须综合考虑索的抗弯刚度、有效计算长度以及边界条件等因素^[5]的影响。本文概括了悬索桥短吊索索力计算的几种方法以及实用公式^[6]，通过算例表明了这些公式有较好的计算精度，适用于短吊索或吊杆的索力计算。

2 常用索力测量方法

2.1 压力表法

在悬索桥施工过程中，通常通过千斤顶来张拉吊索。在对吊索进行张拉时，千斤顶油压表上面会显示张拉力的大小，此读数就是吊索此时的索力值。事先对千斤顶、油压表进行标定，能提高测试精度。该方法是在千斤顶张拉时读取索力，因此在桥梁施工阶段适宜使用，而在成桥后不太适用。

2.2 压力传感器法

吊索张拉时千斤顶张拉力是通过连接杆传递到拉索锚具的，在连接杆上安装传感器，从而可以读取索力值。同理，为了提高精度，事先可以给压力传感器^[7]进行标定。传感器法测试索力的精度较高，很适合正在张拉的吊索索力测试，操作方便，可以反复测量吊索索力大小。如果在悬索桥吊索施工时安装永久锚固传感器，就可以在锚固后准确测得吊索的索力。

2.3 磁通量法

磁通量法测索力的原理是利用铁磁材料的磁导率和其应力状态之间的变化规律来分析索力的变化。当钢绞线被磁化后，若其应力水平发生变化，则磁导率也会随之发生变化。通过电磁传感器对磁导率进行监测，进而推算出索力。邓年春等^[8]对磁通量传感器的原理和性能进行了详细的研究，周庠天等^[9]介绍了磁通量传感器索力监测系统在工程中的应用。

总的来说，国内对磁通量法的研究还比较少，在实际工程中并没有得到大量使用，但的确是一种行之有效的方法。

2.4 频率法

频率法测索力的基本原理是通过人工手段或者环境对拉索进行激励，然后由固定在拉索上的传感器采集信号，再对采集的加速度信号采用滤波、放大和频谱分析等手段进行分析，得到索的固有振动频率，从而根据索力与频率之间的对应关系得到索力。频率法测索力的关键是准确获取吊索的固有振动频率。李金鹿等人提出一种毫米波雷达测试方法^[10]，该方法是一种高精度非接触式的测量技术，通过变化相位计算出拉索的振动位移，然后转换为振动频率，从而求取索力。

张宇航等人提出了基于欧拉运动放大算法的桥梁索力测试方法^[11]，它是采用数码摄像设备采集拉索振动的数字图像数据，经过基于相位的欧拉运动放大算法处理获取运动放大后的图像序列，然后利用算法得到边缘图像序列，并通过边缘定位提取拉索人工标记的位移时程数据，最后再利用频率法识别拉索索力。

3 短吊索索力计算方法

3.1 有限元法

传统的频率法测试索力是基于索力与基频的平方成比例来计算吊索索力的，对于长吊索，其自身柔性索段较长、刚度均匀，在人为或环境激励下，其自振频率较为准确，计算出的索力有足够的精度。但对于短吊索，其自身柔性索段较短，实际的刚度与理想弦有较大的差别^[12]，如果不考虑索的抗弯刚度以及线密度等对振动频率的影响^[13]，那测出的频率是不准确的。学者齐冬春^[14]提出了用有限元软件分析吊索索力的方法，直接建立吊索的实际模型。将整根吊索按刚度分为不同区段，将不同区段的索的参数按实际情况输入有限元模型，通过有限元可以计算出吊索振动频率，同时通过人工或环境激振测出^[15]吊索的自振频率，若计算出来的频率与实测频率不符，则修改吊索的EI，重新计算直到两者相等或相近为止，此时的EI就为吊索的实际抗弯刚度。之后对于类似吊索，根据实测的频率值就可以计算出吊索的索力。

该方法的不足之处是：要通过测试出吊索频率来试算吊索的刚度，从而计算出索力值，虽然不需要采用经验公式，但需要准确测取吊索的自振频率。

3.2 能量法

能量法测吊索索力的原理是根据能量守恒定律，建立索力与抗弯刚度、固有频率的关系。邵旭东等学者把均布荷载作用下的两端固结梁的挠度曲线当做吊杆的一阶振型，分析了拉索的抗弯刚度以及一阶频率和索力之间的关系，并得到了索力计算的近似公式^[16]：

(1)

式中：EI为抗弯刚度；T为索力；m为线密度；L为索的计算长度；f₀为基频。

式（1）的由来是通过用有张力的梁来模拟短吊杆，然后假定一个振型函数，根据能量守恒原理列出能量方程。这种假定相当于在体系上施加了一种约束，计算出来的索力比真实索力稍小，EI越大，误差越小。该公式与理想弦的索力—频率公式相似但又有差别，实践证明对于短吊索，其精度可以满足工程要求。但该方法的不足之处是实际的短吊索刚度不均匀，它的振动机理和梁还是有些差异，自振频率也不尽相同。

3.3 解析法

对于吊索，根据理想弦的振动理论，其自由振动微分方程为：

(2)

对上微分方程分离变量，假定吊索的边界条件为两端铰支，对其化简可得：

(3)

由于短吊索的实际边界条件介于铰接和固接之间，同一工程中不同长度的吊索边界条件也可能相差很大，如果直接使用振动法中频率-索力计算公式^[17]求解往往会产生较大的误差，例如甘泉提出了基于振动频率法的两端固支拉索索力计算实用公式^[18]。考虑到边界条件^[19]为铰接的解析公式和边界条件为固接的经验公式大都具有与传统索力-频率公式类似的形式，学者曹进捷就将不同边界条件下的索力计算公式统一成如下形式^[20]：

(4)

式中：ɑ，b为待定系数，取决于吊索的实际边界条件。

使用式（4）计算索力，首先需要确定系数ɑ，b。在悬索桥施工过程中，吊索的张拉一般用千斤顶来控制，通过压力传感器可以测出吊索的索力并且其精度较高，测得的索力可以当作吊索的实际索力T，并同时测取吊索激振下的振动频率，将任意两阶频率f_n和f_k及相应的索力T代入式（4），即可得到此根吊索的对应公式（4）中的系数ɑ，b：

(5)

(6)

为了减小误差，可以取同根吊索的多阶频率与索力算出ɑ，b取其平均值。将ɑ，b代入式（4），可确定每一根吊索的计算公式^[20]，并作为每根吊索后续索力测试的计算公式。

该方法在一定程度上能满足工程需要，它对传统公式进行了修正，提高了测试精度，但该索力测试方法还是需要精确测取吊索频率。

如果说用索力计算公式要进行精度分析，那么首先需要对吊索抗弯刚度进行识别^[21]以及对吊索计算长度进行修正。

学者苏成提出了按如下方法进行识别：在合理范围内用有限元软件将吊索抗弯刚度按0.05倍最大抗弯刚度的步长递增输入，而频率通过传感器实际测出。那么对应的每个抗弯刚度，都可得出吊索索力与频率的关系曲线^[20]。根据实测的各阶频率和假定的抗弯刚度推求索力，将索力与实测索力进行对比来识别抗弯刚度，哪个抗弯刚度下对应的索力与实测索力最相近，该抗弯刚度就是吊索的实际抗弯刚度。

以某悬索桥第J07号吊索为例，对其抗弯刚度进行识别。表1给出了该吊索的结构参数。表2是输入不同的吊索抗弯刚度情况下得到的吊索索力值。

表1 吊索结构参数

长度/m	钢丝面积/mm2	最大抗弯刚度/kN·m2	线密度/kg·m-1	支座条件
9.092	1680	499.2	16.52	铰接

表2 不同EI下的索力值比较

基频	最大抗弯刚度倍数/	抗弯刚度/kN·m2	计算索力/kN	理论索力/kN	差值/%
1.997	0.3	149.76	732	700	6.0%
	0.35	174.72	719	700	4.1%
	0.4	199.68	702	700	0.3%
	0.45	224.64	683	700	2.4%
	0.50	249.60	672	700	4.0%
	0.55	274.56	661	700	5.6%
	0.60	299.52	653	700	6.7%
	0.65	324.48	638	700	8.9%
	0.70	349.44	625	700	10.7%

注：计算索力为有限元计算值，差值表示计算索力与理论值的差值百分比

从表2可以看出，在同一根吊索中，当基频不变时，索力大小随着抗弯刚度的增大而减小；当抗弯刚度取0.4（EI）_max时，用有限元计算出来的索力值与理论值最接近，说明被识别索的抗弯刚度应该在0.4（EI）_max左右^[21]。对于不同长度的吊索，同样可以用该方法来识别其抗弯刚度。但不足的是最大抗弯刚度的倍数需要足够精细才能判断出计算出的索力值与理论值最接近，从而找到最准确的抗弯刚度。

对于计算索长，有学者按如下经验公式进行修正：

（7）

式中：L为有效计算长度，S为索长，m为吊索上端刚性长度，n为吊索下端刚性长度， 取0.41~0.48， 取0.35~0.4。

4 短吊索索力计算精度比对

某双塔单跨自锚式悬索桥，其主跨为300m，总长1729m。该桥只在主跨设置吊索，边跨不设置吊索。主跨共设置23对吊索，吊索间距为12m。吊索采用间距为0.48m的双吊索，全桥共计92根吊索，吊索布置如图1所示。

图1 吊索布置图

现对J08~J16吊索进行分析，由于每个吊点都有两根吊索，取其中一根进行分析。先根据前文介绍的方法识别出每根吊索的抗弯刚度，然后根据实测的吊索振动频率，分别运用公式（1）和公式（4）算出对应的索力，分析其精度。

表3 按式（1）计算的吊索索力结果

吊索编号	无应力索长/m	修正索长/m	抗弯刚度/(kN·m2)	基频/Hz	计算索力/kN	理论索力/kN	差值比/%
J08	12.230	11.709	235.22	9.731	705.55	702	0.51%
J09	9.613	9.092	204.57	12.605	713.78	702	1.68%
J10	7.682	7.161	241.49	15.769	692.90	702	1.30%
J11	6.608	6.087	234.87	18.469	686.70	703	2.32%
J12	6.212	5.691	237.45	19.697	682.70	698	2.19%
J13	6.693	6.172	244.76	18.384	699.44	703	0.51%
J14	7.818	7.297	213.12	15.661	709.60	702	1.08%
J15	9.805	9.284	199.68	12.311	709.88	702	1.12%
J16	12.570	12.049	229.35	9.415	699.34	702	0.38%

表3列出了按照公式（1）计算出的索力结果，计算前对吊索实际抗弯刚度进行了识别，并修正了吊索的有效计算长度。从表中可以看出，按式（1）计算的索力与理论值较为接近，但都在±3%以内，满足工程要求。

表4 按式（4）计算的吊索索力结果

吊索编号	修正索长/m	抗弯刚度/(kN·m2)	基频/Hz	a	b	计算索力/kN	理论索力/kN	差值比/%
J08	11.709	235.22	9.731	3.31	2.15	709.90	702	1.13%
J09	9.092	204.57	12.605	3.28	2.18	711.70	702	1.38%
J10	7.161	241.49	15.769	3.34	2.34	703.55	702	0.22%
J11	6.087	234.87	18.469	3.36	2.37	701.47	703	0.22%
J12	5.691	237.45	19.697	3.33	2.25	691.18	698	0.98%
J13	6.172	244.76	18.384	3.32	2.13	705.99	703	0.42%
J14	7.297	213.12	15.661	3.29	2.21	709.71	702	1.10%
J15	9.284	199.68	12.311	3.32	2.17	716.43	702	2.06%
J16	12.049	229.35	9.415	3.35	2.32	712.16	702	1.45%

表4列出了J08~J16号吊索的系数a，b的计算结果以及按照公式（4）计算出的索力值，从表中可以看出，不同长度吊索之间的系数a，b相差不大，按公式（4）计算的索力与理论值较为接近，相对误差在±3%以内，且索长越短，精度越高。

J08~J16号吊索由公式（1）计算出的索力差值比的平均值为1.23%，由公式（4）计算出的索力差值比的平均值为1.00%，数据表明二者精度都可满足工程需要，使用公式（4）计算悬索桥短吊索索力精度稍高一点点。

5 结语

1)对于悬索桥短吊索不能采用传统频率法中索力与频率的关系，否则会造成很大的误差，可以采用有限元法以及由基频计算索力的修正公式。

2)在应用索力修正公式时，需要对吊索抗弯刚度、有效计算长度进行准确识别和修正；抗弯刚度是用有限元逐步试算来识别，有效计算长度是通过折减上下刚性锚头长度来确定。

3)本文索力计算表明解析法公式（4）与能量法公式（1）精度均可满足工程需要，且精度相差不大。

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