浅谈微积分中的反例

刘娟宁

（XianyangVocationalTechnicalCollege，Xianyang712000，China）

摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。

Abstract：ThisarticlelistsCalculuscommontypicalcounter-examplesanddiscussestheroleofcounter-examplesinCalculusTeaching.Ontheonehand，thecounter-examplescanstrengthentheconceptandrevealconnotationoftheconcept，itmakestudentexactlygrasptherelationshipbetweentheconcepts，thoroughlyunderstandtheconditionsoftheorem.Ontheotherhandittrainsstudentsreversethinking，whatismoreithelpstodevelopthemathskillsofstudents.

关键词：反例；微积分；函数；微分；积分

Keywords：counter-examples;Calculus;function;Differential;Integral

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）08-0283-02

0引言

用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。

1连续、可导、可微问题

微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。

情形1若函数连续，则函数在a也连续，但其逆命题不成立。

反例：函数

虽然在x=0处连续，但在x=0处不连续。

情形2可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。

反例：函数，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，，所以f（x）在x=0连续；但极限不相等，所以f（x）在x=0不可导。

情形3函数处可导，则函数的邻域内不一定连续。

反例：函数

在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。

情形4处可导，则处是否有连续导数？

反例：函数处可导，但导数不连续。

事实上，，即f（x）在x=0处可导，但当x≠0时，

综上归结，对一元函数f（x）在点x0可有：有极限。通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。

情形5当f（x0）≠0时，由f（x）在x0可导不一定能推出f（x）在x0可导。

情形6下面命题是否成立：若f（x）在（a，b）内可导，则在（a，b）内必定存在ξ，使得？

事实上，举出这样的反例：易知该命题不成立，因为虽然f（x）在（0，1）内可导（但在[0，1]上不连续），但是由f（1）-f（0）=1-1=0，，而在（0，1）内f′（x）=1，所以在（0，1）内不存在ξ，使得f′（ξ）=0，这表明拉格朗日中值定理中，f（x）在[a，b]上连续的条件不可少，类似，可通过反例f（x）=x说明该定理中f（x）在（a，b）内可导的条件不可少，通过这种方式强调该定理中的两个条件缺一不可，相信会给学生留下深刻的印象。

2可积问题

情形7若函数f（x）在区间[a，b]上可积，则函数f（x）在区间[a，b]上也可积，且，但其逆命题不成立，即当函数f（x）在区间[a，b]上可积时，函数f（x）在区间[a，b]上不一定可积。

反例：函数

函数在[0，1]上不可积，而f（x）≡1，这是常函数，显然在[0，1]上可积。

3无穷大量与无界量问题

情形8无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量。

反例：当x→∞时f（x）为无界量。事实上，对无论多大的G>0，总存在。

4函数的极大(小)值与最大(小)值问题

情形9[4]可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点。

由上表可知：点为f（x）的极大值点，极大值为为f（x）的极小值点，极小值为1。但函数f（x）在点x=3取得最大值为6，在点x=-1取得最小值为。

上述归结，若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定有最大、最小值。若函数f（x）的最大(小)值点x0在区间内，则x0必定是f（x）的极大(小)值点。但f（x）的最大(小)值也可能在区间端点处取得，则f（x）的极大(小)值不一定就是最大(小)值，要通过比较才能确定。

5结语

微积分中的反例有助于提高学生的数学逻辑思维能力,突出数学所表达的逆向思维以及体现了数学的严谨性.透彻理解命题、定理条件的充分性及必要性,为了分清条件的充分性与必要性使用恰当的反例是非常有好处的。反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。

在微积分的教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。另一方面：“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的。它不仅有助于培养学生纵向思维能力，而且有助于培养和发展学生的横向思维能力，更有助于培养学生的数学技能，并使学生养成严格推理、全面分析问题的能力。

参考文献：

[1]刘福保.反例教学法在数学分析中的作用和构造[J].科技创新导报，2009，NO.11.

[2]薛迎杰.浅谈反例在高等数学教学中的作用[J].中国校外教育，下旬刊.

[3]马建珍.反例在数学分析中的作用[J].宜宾学院学报，2006，6（12）.

[4]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001.