“倍”的教学法探析

李苹苹要学棣

【中图分类号】R197.3【文献标识码】A【文章编号】1672-5085（2011）7-0421-02

【摘要】许多教科书中使用“倍”时概念混乱甚至发生原则错误，一代又一代地贻误学生，原因在于理论界、学术界导向存在问题，有必要从根本上澄清问题。“扩大若干倍”要慎用，“缩小若干倍”应摒除。

【关键词】倍扩大扩大到缩小

笔者在医学遗传学课程的教授过程中，对“倍”的应用这个问题有不同观点，先后查阅过好几种专科教材，本科教材也参阅过，发现在有关“倍”的应用方面，教材中无一例外都有疑问。笔者在此抛砖引玉，愿就教于大家。

1问题举例

1.1染色质包装

“经过多次折叠、螺旋化，约5厘米长的染色质被压缩至2～10μm，压缩了8400倍。”（《细胞生物学和医学遗传学》，第三版，张忠寿主编，2004年）

质疑：“倍”是与原数相等的数，压缩1倍即已消失殆尽，压缩8400倍可能吗？如何实现？

正确的说法是：“压缩至原来的1/8400。”

令人啼笑皆非的是，有的编者所著的医学遗传学教科书，在同一章节中，一会儿说压缩了8400倍，一会儿说压缩到1/8400，可能该著者认为8400倍等于1/8400，至少是“等同于”。(全国高等职业技术教育卫生部规划教材：《医学生物学》2004年第一版，康晓慧主编)

1.2常染色体隐性遗传病发病率

“若某种常染色体隐性遗传病的群体发病率为百万分之一，随机婚配的发病率为：1/500×1/500×1/4＝1/1000000，而近亲婚配的发病率为：1/500×1/8×1/4＝1/16000，近亲婚配的发病率比随机婚配的发病率高出62.5倍！”（同上书）

质疑：真的高出62.5倍吗？

我们举个典型的例子：10比5多出（高出）多少倍？难道说多出（高出）2倍吗？反过来说，是否把5扩大2倍可以得到10？（提高、增多、加大等说法，都是“扩大”的含义）

歧义：10比5多出（高出）1倍，而1/16000比1/1000000就高出了62.5倍吗？问题出在认为“扩大”1倍就是用1乘！

正确的说法是：“近亲婚配发病率是随机婚配发病率的62.5倍。”（比较蹩脚的说法是：“近亲婚配的发病率比随机婚配的发病率高出61.5倍。”）

2产生错误的根源

产生以上种种错误的原因在于错误概念已经根深蒂固，起源于小学时期。小学三、四年级的算术教科书中，关于“倍数”的定义不正确，导致绝大多数的人在开始学习的时候学到的就是错误的概念，学过以后就误用一辈子。

2.1“倍”的定义含混

“倍”是一个很常用又很重要的概念，要问“倍”字怎样解释，恐怕有半数以上的人会为之结舌。那么，“倍”该如何定义呢？各种工具书上的定义有两种解释：一是“倍”就是与原数相等的数；二是“事半功倍”中的“倍”按“加倍”解释。各级教科书中反而极难找到对“倍”的定义，各位著者应用“倍”的概念时随心所欲，错误百出。

2.2“倍”的误用

“倍”在许多场合被误用，并且影响极大。

首先，小学数学教科书中第一次出现“倍”时的定义不清楚，让人们无所适从。

其次，小学数学教科书中关于“扩大若干倍”与“缩小若干倍”的定义是错误的，尤其是“缩小若干倍”！

还有，某些权威的工具书中的定义含混不清甚至有错误，起了错误的舆论导向作用。

最严重的是，有许多人在误用，以致错误的定义占了统治地位，正确的说法无人接受甚至遭到排斥。

3需要澄清的几个概念

要做到正确应用“倍”，有几个概念必须澄清，一是“倍”的定义，二是“扩大”，三是“缩小”。

3.1倍

【倍】“倍”是整数运算的基本单位，未加任何修饰的“倍”就是指1倍，1倍就是指某数本身或者与其相等的数。求倍数用乘法，求某数的几倍就用几乘某数（即1倍的几倍）。在整数运算中，1倍是基本的单位，可以扩大任意倍，但不能缩小（小数、分数运算例外）。

3.2扩大

【扩大】“扩大”一定要变大，要在原数的基础上再“扩而大之”，即效果要比“1倍”有所增加，最典型的例子是：由5变为10，扩大1倍即成，但不是用1去乘！正确的说法是：把某数扩大1倍要乘以（1＋1），也就是求某数的2倍！推而广之，扩大2倍要乘以（2＋1），扩大3倍要乘以（3＋1）……

3.3缩小

【缩小】“缩小”时，比较的基础是原数，即1倍，在现实生活中，不应该缩小成出现负数，因此，最多只能缩小1倍。

从逻辑的角度和应用的角度都不存在“缩小”1倍以上的命题，那么正确的就只有“缩小到若干分之一”的命题。

4解决问题的办法

产生“倍数”概念错误的根源既已找到，解决的办法也就有了：对症下药。

4.1从根本上铲除产生错误的土壤

现行的小学数学教科书必须修改，具体修改内容有：①补充“倍”及“倍数”的科学概念；②改“扩大若干倍”为“扩大到若干倍”；③剔除“缩小若干倍”的教学内容，在适当的时候再讲授“缩小到若干分之一”的概念；④在小数、分数部分的学习内容中强化“倍”、“单位1”的概念；⑤增加有关“倍”及“倍数”的应用题，如“盈亏问题”、“鸡兔同笼”、年龄问题等。

4.2修订各级学校各学科中关于“倍”及“倍数”的不正确说法

类似本文开头所举的例子，虽不能说俯拾皆是，但已是充斥于出版物乃至各级教科书中，触目惊心，很有必要进行规范。