带拦截角约束的微分对策制导律设计

车浩斌

摘要：考虑在实际作战需求中对拦截角度的约束需求，基于微分对策理论推导了考虑拦截角度约束的线性二次型微分对策制导律（LQDG-IA），并对所涉及导引律进行仿真校核，结果表明所设计的制导律具有满足拦截角度约束的能力，可以进一步提高导弹的杀伤能力。

关键词：微分对策、拦截角约束、制导律

1引言

对当前大部分防空导弹来说，寻的系统的主要目标是产生合适的指令使导弹末端脱靶量最小。但在某些情况下，为保证圆满完成制导任务，需要约束攻击角度，以发挥战斗部最大效能，取得最佳毁伤效果。

使用传统制导律，例如比例导引律并不能对攻击角这一指标进行约束。在考虑攻击角约束的制导律设计中，主要包括最优制导律（OGL）和改进的比例导引律（MPN）。学术界的Kim、Gride首先提出了带角度约束的制导律研究问题，之后很多国内外学者一直在研究该领域。文献[1]基于LQR方法研究微分对策最优导引律；文献[2]提出了零控碰撞三角的概念，并设计一种最优角度约束导引律。

本文将完成以下两个方面的任务：1）基于微分对策理论推导含拦截角度约束的微分对策制导律；2）对设计的导引律进行仿真校核，验证所设计导引律的有效性。

2带拦截角约束的微分对策制导律设计

定义在拦截时刻导弹相对于目标的拦截角度为,此时的系统状态变量增加此拦截角，系统的状态变量 ,在基于微分对策理论制导律的设计中，我们对目标未来的机动策略不进行任何假设。我们将设计满足鞍点的双方最优策略，也就是说如果其中一方偏离了最优策略，那它将不能够获得利益最大化。取二人零和博弈性能指标函数为：

                      （1）

上式中的权重系数a、b为非负常数，表示导弹相对于目标的机动能力。为导弹垂直于初始视线方向的控制量，；为目标垂直于初始视线方向的控制量，。容易看出当，将得到仅考虑终端状态即零脱靶量的制导律，当将得到只考虑拦截角度约束的制导律。

应用最优控制理论对问题进行求解推导，该问题的哈密顿函数为：

（2）

相应的伴随方程与终端状态为：

（3）

伴随方程的解为：

（4）

导弹的最优控制策略满足，目标的最优控制策略满足，为了获得制导律的解析解，我们对导弹和目标的动力学特性进行理想假设，即动力学响应无时间延迟，这将大大简化对时间进行求导后的结果：

（5）

基于小角度假设下进行近似化处理得到：

（6）

其中、分别为导弹和目标在视线方向上的速度分量，由下式进行计算：

（7）

基于导弹和目标具有理想动力学特性的假设下，考虑攻击角约束的微分对策制导律的推导可以简化为：

（8）

推导出的带攻击角约束的微分对策制导律如下：

（9）

上式中、、、、、的各项值由下面给出：

（10）

（11）

（12）

其中、、、、的值为：

（13）

尽管我们对导弹动力学特性进行了理想假设，从求解出来的制导律可以看出形式相对来说依旧较为复杂。分析可得求解出来闭环形式的制导律关于ZEM和ZEAE都是线性的；将推导出的制导律记为LQDG-IA。当或时，容易证得制导增益系数、、、均是有界的，所以导弹和目标的控制量和也是有界的。

实施制导律所需要的信息为、、、、。基于碰撞三角形的小偏差假设。垂直于初始视线方向的位移可以近似为：

（14）

上式关于时间进行求导得到:

（15）

将上式代入到已推导出的进而得到：

（16）

3数学仿真

末制导阶段的初始交战状态为弹目形成迎面拦截势态。导弹和目标不一定沿着所需的碰撞三角形进行飞行。因此我们需要不断的对、、进行更新才能够准确的对制导律进行仿真验证。在此节制导律性能对比研究中，目标执行恒定的机动。初始弹目斜距为2000m，目标速度为=300 m/s，其最大机动能力为=5 g，导弹和目标动力学特性的一阶时间常数分别为=0.1 s和=0.1 s。

选取权重参数，拦截角约束为，实现该约束可实现正面拦截。初始条件为=500 m/s，=300 m/s =0，=0，=0，=2000 m。图1给出不同权重系数b 值时LQDG-CITA制导律实现的拦截轨迹。

图1  LQDG-IA不同权重系数b值的拦截轨迹（）

可以从图1中看见，当此时的制导律退化为不考虑拦截角度约束的微分对策制导律。当权重系数b逐渐增加时，导弹对目标的拦截角度逐渐符合约束角度。表1给出了不同权重系数b值下此时制导律的应用效果。

表1 不同权重系数b值的仿真结果

权重系数b值	拦截角度误差	最大需求过载
	35.23°	7.52 g
	12.47°	12.92 g
	0.86°	g

从表1的仿真结果可以看出，当b=1时，拦截角度误差约为；当时，拦截角度误差小于。这与制导律设计过程中的设计思想相符合。但实现符合拦截角度约束的制导律对导弹的过载能力和能量提出了更高的要求。导弹的需求加速度最大值也从7.5 g增加到了25 g，而最大需求过载在拦截过程的末段出现而不是在初始段，这在实际拦截过程中通常是无法被满足的。该仿真结果反映出当需要导弹对机动目标实现零脱靶量与具有拦截角度约束的完美拦截时，对导弹的过载能力提出了更高的要求，如何在过载能力有限的情况下尽可能地设计出实现符合指标的制导律值得进一步研究。

权重系数a、b为制导律设计中的重要参数，反映了允许脱靶距离、拦截角误差、导弹可用过载之间的权衡。通过调整参数，我们最后选择了，这一组设计参数作为一般仿真的设置参数。在2s的末制导时间内，脱靶量约在1 m内，拦截角度误差约在以内，导弹需求最大加速度25 g。

图2给出了不同拦截角度约束下的拦截轨迹，参数设置与上述提到的相同，。从仿真结果可以看出，脱靶量与拦截角度误差较小。仿真结果中的最大脱靶量为0.17 m，最大拦截角度误差约为。值得注意的是这一性能指标相对于不使用拦截角约束的制导律拦截目标的拦截角有了实质性的提高，符合设计预期结果。

图2 LQDG-IA不同拦截角度约束的拦截轨迹

因此当制导律拦截角度约束设置为时，可以预见此时的脱靶量与拦截角误差应该达到最小，图2显示的仿真结果也验证了我们该推论的正确性。对于不同的初始航向误差能获得相类似的结果。尽管所设计的制导律具有修正拦截角误差与实现脱靶量的能力，但中制导段应该尽可能的考虑为末制导段创造一个较小初始航向误差的良好条件。末制导段开始时的初始误差过大将会导致制导律需要导弹提供更大的加速度，而当导弹自动驾驶仪无法满足这个要求时将会导致拦截失败。

4小结

本文基于微分对策理论，设计推导了能够满足拦截角约束的微分对策理论制导律，仿真结果表明，导弹在具有较大机动能力的情况下，制导律的脱靶距离和拦截角误差都很小。即使初始作战场景与碰撞三角偏差较大，目标执行较强的机动，导致相较于初始碰撞三角形出现较大的偏离，制导律也表现出了良好的性能，脱靶距离与拦截角误差接近于零。所设计的制导律已证明具有满足拦截角度约束的能力，可以进一步提高导弹的杀伤能力。

参考文献

[] V Shaferman, T Shima. Linear Quadratic Guidance Laws for Imposing a Terminal Intercept Angle [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2008, 31(5): 1400-1412.

[2] 王业达, 周军, 郭建国. 一种基于零脱靶量的最优导引律设计[J]. 计算机仿真, 2009, 26(2), 57-60.