正方晶格声子晶体带隙及缺陷态特性数值分析

蔡允高 ,董盈红

摘要：对声子晶体及其二维正方晶格声子晶体研究进展进行了概述；采用平面波展开法和超元胞法对正方柱正方晶格铝--环氧树脂二维声子晶体带隙特性及缺陷态特性、长方柱正方晶格钢--环氧树脂二维声子晶体带隙带隙特性及缺陷态特性进行了数值分析。

关键词：声子晶体；填充率；带隙数目；相对频宽

1. 声子晶体概述及研究进展

声子晶体的概念是从光子晶体的概念演绎而来的，二者都是模拟天然晶体原子的排列方式且具有某种周期拓扑结构。声子带隙是通过调制材料组分 (分散物) 弹性常数的周期性来实现的，带隙有完全带隙和不完全带隙之分，所谓完全带隙是指在特定频率范围内，波在波矢的所有方向上都不能传播；而不完全带隙则指在该频率范围内只允许某些方向上的波通过，其它方向被禁止。在二组元体系中，声子晶体的带隙可分为Bragg 散射型和局域共振型。

目前，关于声子晶体的研究主要集中在二维声子晶体中，对一维和三维声子晶体研究的还很少。在二维声子晶体中，对固体-固体、液体(气体)-液体(气体)，固体-液体(气体)等二组元复合介质中的带结构都有研究，其中柱体的排列方式有正方形、三角形和六边形等多边形。具体对于固-固体系二维声子晶体而言，大弹性常数和密度的散射体在小弹性常数和密度的基体中易形成声波禁带，组元材料弹性常数和密度差异越大，越容易产生完全禁带;对于液-液体系二维声子晶体，情况正好相反，低密度散射体置于高密度基体中，易形成声波带隙。一般来说，对于密度小的散射体置于密度大的基体上，随填充系数的增大，带隙先逐渐变宽，然后变窄，存在一个最佳值对应最大的带隙宽度;对于密度大的散射体置于密度小的基体上，随填充系数的增大，带隙逐渐变宽，并且在最大填充系数处到达最大值。在周期性的元胞结构的声子晶体中，Bragg散射起主导作用，故选择Bragg散射机理研究声子晶体的带隙结构。本文分析研究不同材料及不同结构对二维正方晶格声子晶体带隙及缺陷态特性。

2. 正方柱正方晶格铝--环氧树脂二维声子晶体带隙隙数值分析

本部分从固体--固体缺陷态结构出发，探究缺陷态对固体--固体组成的二维声子晶体带隙的影响。一般而言，密度大的材料插入密度小的材料中容易产生较宽的声子晶体带隙。因此，本文以工业中使用较多且密度较大的4340钢为研究对象，把正方形结构排列的4340钢均匀地插入到密度较小的环氧树脂基底中，形成固体二维声子晶体。采用平面波展开法及平面波超元胞法研究完整结构和不同缺陷态结构对4340钢-环氧树脂组成的二维声子晶体带隙的影响。计算的基体为各向同性的4340钢-环氧树脂组成的二维声子晶体。在第一布里渊区，取一个固定的k值，G、G′、G″分别取N=121个值，其中 5≤Nx，Ny≤5。将本征方程转换成2N×2N的以为特征值的矩阵方程；利用Matlab求解XY分量的特征值并得到相应的频率。

图1 完整的二维声子晶体材料结构示意图      图2 正方形排列的第一布里渊区k值的取值范围

图3二维声子晶体中缺陷态超晶胞的结构模型

对于4340钢，=7.8g/cm3，ct=3200m/s，cl=5830m/s；环氧树脂，=1.4g/cm3, ct=1300m/s，cl=2700m/s，其中环氧树脂是基底材料，4340钢则作为散射体插入基底中。图1是完整的二维声子晶体材料结构示意图，正方形表示4340钢结构单元，空白部位表示环氧树脂基底结构单元，a表示晶格常数；图2 是正方形排列的第一布里渊区k值的取值范围；图3是二维声子晶体中缺陷态超晶胞的结构模型，其中(a) 为45o线缺陷态超晶胞结构模型排列方式，(b)为 90o线缺陷态超晶胞结构模型排列方式，(c)为135o线缺陷态超晶胞结构模型排列方式，(d)为180o线缺陷态超晶胞结构模型排列方式，图中正方形物质是4340钢，空白部位是环氧树脂。

图4表示F=0.4，a=0.04m 正方柱正方晶格铝--环氧树脂二维声子晶体不同晶体结构的带隙图，通过对图4的比较可以看出缺陷态的带隙宽度明显比完整晶体的带隙宽度大很多；带隙宽度从大到小依次为45o线缺陷、90o线缺陷、135o线缺陷、180o线缺陷，完整晶体；180o线缺陷的带隙宽度相对完整晶体扩大约8.5倍；而45o线缺陷、90o线缺陷、135o线缺陷的带隙宽度相对完整晶体扩大了约31倍。

（a）完整结构的晶体带隙图；（b）45o线缺陷晶体带隙图；（c）90o线缺陷晶体带隙图；（d）135o线缺陷晶体带隙图；（e）180o线缺陷晶体带隙图。

图4 F=0.4时的不同晶体结构的带隙图

图5表示带隙数目N与填充率F之间的关系，由图5可见，对于45o线缺陷结构而言，在F=0.1­1之间都有带隙出现，曲线整体走势为先增大后减小，在F等于0.4时，达到最大13条；对于90

o线缺陷结构而言，在F=0.05­1之间均有带隙出现，曲线整体走势为先增大后减小，减小到N=6时又出现先增后减的趋势，当F等于0.1时，达到最大12条；对于135o线缺陷结构而言，在F=0.05­1时均有带隙出现，曲线整体走势为先增后减，当F等于0.1时，达到最大14条；对于180o线缺陷结构而言，在F=0.05­0.95之间均有带隙出现，曲线整体走势为先增后减，当F等于0.4时，达到最大16条；对于完整结构而言，在0.1­0.9之间均有带隙出现，曲线整体走势为波动型，连续的先增后减，当F等于0.7时，达到最大11条。

     

（a）45o线缺陷；（b）90o线缺陷；（c）135o线缺陷；（d）180o线缺陷和（e）是完整晶体

图5 带隙数目N与填充率F之间的关系曲线   图6 最低带隙的相对宽度△g与填充率F之间的关系曲线

图6表示最低带隙相对宽度△g与填充率F之间的关系。由图6可见，在F=0­1的范围内，对于45o线缺陷结构而言，△g随F的增大先增大后减小，当减小到0.003时，又开始增大，当F等于0.8749时达到最大值0.1505；对于90o、135o、180o线缺陷和完整结构结构而言，△g随F的增大先增大后减小。图6 (a)的第一个峰值为0.0677，在F=0.1727处，第二个峰值为0.1505，在F=0.8749处；图6 (b)的峰值为0.250281，在F=0.4处；图6 (c)的峰值为0.5205，在F=0.5610处；图6(d)的峰值为0.1391，在F=0.6处；图6(e)的峰值为0.8627，在F=0.5675处。即随着缺陷态角度的增大，△g的峰值会逐渐向右移动，对应的F值逐渐增大。

3. 长方柱正方晶格钢--环氧树脂二维声子晶体带隙数值分析

图7表示F=0.4，a=0.04时的各种正方晶格钢--环氧树脂二维声子晶体不同晶体结构的带隙图，通过对图7的比较可以看出：缺陷态的带隙宽度比完整晶体的带隙宽度大。带隙宽度从大到小依次为180o线缺陷、90o线缺陷、135o线缺陷、45o线缺陷，完整晶体。180o线缺陷的带隙宽度相对完整晶体扩大约5.8倍；而45o线缺陷、90o线缺陷、135o线缺陷的带隙宽度相对完整晶体扩大了约1.11.3倍。

 

（a）                           （b）

（c）                            （d）

          （e）

（a）完整晶体带隙图；（b）45o线缺陷晶体带隙图；（c）90o线缺陷晶体带隙图；（d）135o线缺陷晶体带隙图；（e）180o线缺陷晶体带隙图。

图7 不同结构的带隙图

图8表示带隙数目N与填充率F之间的关系，从图8可见，对于45o线缺陷结构而言，在0.05­0.55时均有带隙出现，并且随着F的增大，带隙的数目先增大后减小，呈整体增大的趋势，在F等于0.5时，达到最大15条；对于90o线缺陷结构而言，在0.05­0.55时均有带隙出现，并且带隙的数目随F的增大呈现波形变化，当F等于0.3时，达到最大6条；对于135o线缺陷结构而言，在0.05­0.55时均有带隙出现，并且带隙的数目随F的增大呈现波动变化，当F等于0.25或0.45时，达到最大6条；对于180o线缺陷结构而言，在0.05­0.55时均有带隙出现，并且带隙的数目随F的增大整体呈现逐渐增大的趋势，当F等于0.55时，达到最大13条；对于完整结构而言，在0.05­0.55时均有带隙出现，并且带隙的数目随F的增大整体呈现逐渐减小的趋势，当F等于0.05时，达到最大13条。

    

（a）完整晶体带隙图；（b）45o线缺陷晶体带隙图；（c）90o线缺陷晶体带隙图；（d）135o线缺陷晶体带隙图；（e）180o线缺陷晶体带隙图。

图8 带隙数目N与填充率F之间的关系曲线     图9最低带隙相对宽度△与填充率F之间的关系曲线

图9表示最低带隙相对宽度△g与填充率F之间的关系，在F=0.05­0.55的范围内，对于45o线缺陷结构而言，△g随F的增大逐渐减小，当F等于0.05时达到最大值0.30818；对于90o 线缺陷结构而言，△g随F的增大呈现不规则的波形变化关系，当F等于0.15时达到最大值0.181696；对于135o线缺陷结构而言，△g随F的增大呈现波形变化关系，当F等于0.1时达到最大值0.309165；对于180o线缺陷和完整结构结构而言，△g随F的增大先增大后减小，分别在当F等于0.35及0.4时达到最大值0.140789和0.529941。

4. 结论

对于正方柱正方晶格铝-环氧树脂二维声子晶体带隙结构，缺陷态与完整晶体相比带隙的宽度明显增大。180o线缺陷的带隙宽度相对完整晶体的带隙宽度几乎扩大了11倍。在45

o、90o、135o缺陷态的带隙宽度相对完整晶体的带隙宽度几乎扩大了24倍。

对于长方柱正方晶格4340钢-环氧树脂二维声子晶体带隙结构，缺陷态与完整晶体相比带隙的宽度增大。180o线缺陷的带隙宽度相对完整晶体的带隙宽度几乎扩大了5.8倍。在45o、90o、135o缺陷态的带隙宽度相对完整晶体的带隙宽度几乎扩大了1.11.3倍。

5. 参考文献

[1]郭翔鹰，孙向洋，朱雨男. 二维正方晶格钨-硅橡胶声子晶体的带隙特性研究[J]人工晶体学报. 2020，49(09)：1583-1589.

[2]李凤莲.二维正方晶格声子晶体的缺陷态分析[J]人工晶体学报. 北京信息科技大学学报(自然科学版).2015,30(06)：32-36+42.

[3] 岳蕾蕾, 陈雨, 樊光辉 等. 缺陷态对4340钢—环氧树脂二维声子晶体带隙的影响[J]. 物理学报, 2011, 60(10): 513-518.

项目支持：云南省教育厅科学研究基金项目（名称：正方晶格声子晶体带隙及缺陷态特性；编号：2022J0907）。