卡尔曼滤波算法在雷达目标定位跟踪中的应用

张蕾

摘 要：本文阐述了雷达跟踪系统中滤波器模型的建立方法，介绍了卡尔曼滤波器的工作原理，通过仿真方法，用卡尔曼滤波方法对单目标航迹进行预测，即搜索目标并记录目标的位置数据，对观测到的位置数据进行处理，自动生成航迹，并预测下一时刻目标的位置。基于此方法的仿真实验获得了较为满意的结果，可以应用于雷达目标跟踪定位。

关键词：卡尔曼滤波；滤波模型；定位跟踪

中图分类号：TN959

1. 引言

雷达目标跟踪是整个雷达系统中的关键环节。跟踪的任务是通过相关和滤波来确定目标的运动路径^[1]。在雷达中，人们通常只对跟踪目标感兴趣，但对目标位置、速度和加速度的测量随时都会产生噪声。卡尔曼滤波器利用目标的动态信息去除噪声的影响，对目标位置进行较好的估计。其可以是当前目标位置的估计滤波器、未来位置的预测、过去位置的插值或平滑。

随着计算机硬件技术和计算能力的迅速提高，卡尔曼滤波逐渐取代其他滤波方法成为ATC自动系统跟踪滤波的标准方法^[2]。卡尔曼滤波不需要独立于跟踪滤波过程的目标机动或跟踪效果检测，而是对其作统一处理，提高了算法的归一化程度。 卡尔曼滤波还可以将高度跟踪和水平位置跟踪结合起来，以考虑高度和水平方向之间可能存在的耦合。

本文从理论推导和仿真验证两方面探讨了卡尔曼滤波在单目标航迹预测中的应用，通过仿真对实验结果进行评价：卡尔曼滤波具有最佳的目标定位和跟踪精度。

2. Kalman滤波跟踪

1. Kalman滤波模型

• 目标运动的动力学模型

目标状态转移方程如下：

状态转移方程描述了如何从当前时间 目标的状态变量 计算下一次的状态变量 。方程中的目标运动转移矩阵 ，反映了目标运动规律的基本部分， 模型误差，反映了目标运动规律中不能被准确表达的随机偏差，是目标运动动力学模型的数学表达式。

• 测量模型

一般来说，传感器（雷达）可以直接检测到的目标参数并不是描述目标动力学的最合适的状态变量。 例如，二次雷达直接测量目标的俯仰角、方位角和斜距，而描述目标动力学最合适的状态变量是三维笛卡尔坐标及其导出量。 因此，需要给出如下测量方程：

该方程反映了目标参数 同目标状态变量 之间的转换关系，其转换矩阵为 。 反映雷达测量误差方程中非常重要的一项，表示目标探测过程中不可避免的随机误差。

• 误差模型

为了从数学上严格地推导出迭代算法，卡尔曼滤波简化假定测量误差和模型误差统计特性，即卡尔曼滤波器是这种意义上的最优跟踪滤波算法。测量误差和模型误差的统计特性由协方差矩阵 和 定量描述。

2. Kalman滤波原理

卡尔曼滤波器以目标位置、速度、加速度作为状态向量，以动力学方程追踪状态变化，利用递推估计目标状态，从而建立目标的轨迹。在雷达跟踪系统中，我们使用离散卡尔曼滤波器^[3]，其状态、测量及推广方程如下：

状态方程：

测量方程：

方程中， 表示估计的状态值， 表示状态转移矩阵， 为协方差矩阵， 为 的状态噪声、 表示测量转移矩阵， 为协方差矩阵， 为 的测量噪声。

状态预测方程：

预测估计值协方差矩阵：

增益矩阵：

滤波估计值：

滤波估计值协方差矩阵：

只有状态估计的初始值 、滤波估计协方差矩阵的初始值 确定后，才能开始滤波工作。通常，将初始估计值 作为系统的首个观测值 ，将 作为对角阵，可大大简化滤波预算。滤波循环如图1所示^[4]。

图1 卡尔曼滤波循环过程

3. 实验及结果分析

1. 运动模型

实验选取单雷达为监视源，以雷达为坐标原点建立笛卡尔坐标系的匀速运动模型：目标飞机以雷达为中心，半径50公里，以恒定速度在 t= 0 ~ 1572秒内作圆周运动，目标飞机保持恒定高度，运动速度为720km/h，目标起始点为(0km，50km)，雷达扫描周期为T=4秒（共有394个时间周期），对x方向和y方向分别独立观察，观测噪声的误差精度设为2%。

2. 仿真实验

为了真实体现滤波效果，选用Monte-Carlo法，通过多次实验，对估计误差的均值和方差开展研究：

而误差的标准差可以表示为：

在上述公式中，Monte-Carlo仿真次数设为 ，采样点数设为 。仿真的次数越多，实验结果与实际结果误差也越小，但计算速度明显减慢。在仿真中，需要根据实际情况进行合理的选择 。实验取 。

仿真实验分别产生了原始目标航迹、含随机噪声的观测数据和估计的卡尔曼滤波。为了便于观测，原始轨迹、观测数据和滤波估计轨迹反映在图形上，如图2所示。

图2 原始航迹、观测数据和滤波后的估计航迹

，目标沿 轴的轨迹呈现正弦函数，沿 轴的轨迹呈现余弦函数。目标沿 、 轴的原始轨迹，观测数据和滤波估计轨迹如图3所示。

图3目标沿、轴方向航迹图（上：轴 下：轴）

，每个雷达扫描周期实际滤波器输出误差的平均值如图4所示。 、 方向的方差和标准差如表1所示。

图4 估计误差均值曲线（上：轴 下：轴）

表1 观测数据与卡尔曼滤波估计的误差对比

分类	坐标轴	方差	标准差
观测数据	x方向	1.0747	1.036683
	y方向	0.9847	0.992344
滤波估计	x方向	0.5392	0.734317
	y方向	0.5989	0.773857

3. 实验结果分析

通过对加入随机噪声的观测数据进行Kalman滤波，可以看出滤波后的数据明显收敛于真实雷达航迹。卡尔曼滤波算法对动态目标跟踪具有良好的效果，能有效抑制环境噪声的影响。

4. 结束语与展望

由于卡尔曼滤波器求解时不需要存储大量的观测数据，而且当获得新的观测数据时，可以随时计算出一个新的参数滤波值，便于实时处理观测结果，因此卡尔曼滤波器在动态数据处理中的应用越来越广泛，尤其是在GPS动态数据处理、雷达定位跟踪等方面。基于上述仿真图像和分析，可以得出结论: 卡尔曼滤波后的估计值与实际航迹接近，加入随机噪声后观测数据与实际航迹偏离程度较小，对动态目标跟踪有较好的效果，而且可以很好地抑制环境噪声的影响，验证了卡尔曼滤波算法在目标定位和跟踪方面的优越性能。对于雷达跟踪系统，随着技术的发展，雷达跟踪准确性的提高，卡尔曼算法可以有效提高雷达跟踪的精度。

机动(Manoeuvre)飞行是目标实际飞行过程中不可避免地一种飞行状态。 使用单个动力学模型描述目标的运动规律会导致模型误差过大。 一种解决方案是开关多模滤波，它利用一组多模式卡尔曼滤波器并行跟踪同一目标，根据一定的准则，选择一个最优匹配滤波器的输出作为当前的总输出。随着目标机动状态的变化，最优滤波器输出自动切换。该方法的缺点是不易得到合理有效的滤波器切换准则，在切换过程中难以保持输出轨迹的平滑和稳定。开关多模滤波器的实验结果将在后续的文章中讨论。

参考文献

1. 张有为,朱谷川.卡尔曼滤波应用于机载雷达跟踪系统的仿真研究[J].电子学报.1983年06期

2. 刘国庆,郭金吉.Kalman滤波的自适应算法[J].高等学校计算数学学报.1997年04期

3. 付梦印,邓志红,张继伟等. Kalman 滤波理论及其在导航系统中的应用[M].北京:科学出版社. 2003

4. 吴江飞,雷辉,王世忠.一种新型非线性滤波理论及其应用[J].测绘工程.2008年06期