应用数学归纳法求解运动学问题

孙义明

从某些个别物理现象或物理过程出发，可以推论出具有普遍意义的一般结论。这种从个别事件推理出一般规律的方法叫做数学归纳法，数学归纳法是分析处理物理问题的一种重要且常用的方法。数学归纳法在运动学中的应用比较广泛，本文通过例子作如下探讨。

一、用数学归纳法求解变速直线运动规律

二、用数学归纳法求解圆周运动问题

例2如图所示，光滑水平面上固定两枚细铁钉A、B，相距0.1m，长1m的柔软细线拴在A上，另一端系一质量为0.5kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度使它在水平面内做圆周运动，由于钉子B的存在，使线慢慢地缠绕在两个钉子上，已知过程中小球的线速度大小不变。

⑴如果细线不会断裂，求细线刚好绕一圈所用时间；

⑵如果细线的抗断拉力为7N，求小球能够绕两个钉子运动的时间。

解析小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，因线速度不变，随着半径的减少，线中张力F不断增大，半周期t不断减小，推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间。根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间．

三、用数学归纳法求解速度渐变问题

例3小球从h0=45m高处自由下落，着地后跳起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度就减少为碰前的α倍（α=0.6），碰撞过程中没有能量损失。求小球从下落到停止所用的总时间。（g取l0m/s2，碰撞时间忽略不计）

以上三个问题都是用数学归纳法分析处理的，过程通俗易懂。数学归纳法在解决物理问题中的应用实际上就是逐步分析，找出一般规律，从而解决物理问题。