挖掘不等关系解决实际问题

王丽丽

现实生活中同类量之间的不等关系比相等关系更为普遍，不等式是表示不等关系的一种重要的数学模型．那么如何挖掘题中的不等关系，列不等式或不等式组解决实际问题哪？现举例如下：

一题中有表示不等关系的文字：

有些实际问题中有明确的表示不等关系的文字，如“超过”、“不足”、“少于”、“不到”等，这种类型问题的不等关系非常明显，只需要把这样的文字转化为数学符号，就可以列出不等式或不等式组．

例1：学校准备选出部分学生搞社会调查，平均分成8组．如果每组比预定人数少1人，那么总数将超过100人；如果每组比预定人数少1人，那么总数将不到90人．求每组的预定人数．

分析：该题中的“超过”、“不到”就是两个表示不等关系的文字．把“超过”转化为数学符号就是“大于号﹥”．把“不到”转化为数学符号就是“小于等于号≤”．因此该题中就有两个不等关系：总数﹥１００和总数≤９０．因为这两个不等关系要同时满足，因此该题列出的是不等式组．

由于人数只能取正整数，所以x=12

答：每组的预定人数为１２人．

二题中暗含表示不等关系的文字．

有些实际问题中没有明确的表示不等关系的文字，但暗含着表示不等关系的文字．如“赢利”、“亏损”、“住不满”、“住不下”、“不空不满”等表示不等关系的文字．把这些文字转化为数学符号，就可以列出不等式或不等式组．

例２：某校八年级的２１３名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的几辆公共汽车．如果每辆车坐３０人，则最后一辆车不空也不满．他们共租了多少辆公共汽车？

分析：该题中的“不空也不满”就表示了不等关系．那么如何表示“不空也不满”哪？根据题意分析，“不空也不满”表示最后一辆车坐的人数大于０人且小于３０人．最后一辆车若按０人算，则租的车少一辆，总数比２１３人少；若按30人算，则总

分析：该题中要求最低的运费，需要找到有北京、上海运往武汉、重庆的

仪器的台数都有哪些可能．而这些台数既要满足题中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台的等量关系，又要满足由实际意义得到的保证送往重庆、武汉的台数大于等于0，这样若设由北京送往武汉x台，由等量关系可以表示出送往其他各地的台数，由不等关系确定x的取值范围，再由x只能取正整数确定x的取值．

解：设由北京送往武汉x台，则由北京运往重庆（10﹣x）台，由上海运往武汉（6﹣x）台，由上海运往重庆〔8﹣（10﹣x）〕台，根据题意知：

x≥0

10﹣x≥0

6﹣x≥0

8﹣（10﹣x）≥0

解得2≤x≤6因为x只能取正整数，所以x=2、3、4、5、6

这样一共有5种方案：

方案一：由北京运往武汉2台，运往重庆8台，由上海运往往武汉4台，运往重庆0台，运费为2×400+8×800+4×300+0×500=8400(元)

方案二：由北京运往武汉3台，运往重庆7台，由上海运往往武汉3台，运往重庆1台，运费为3×400+7×800+3×300+1×500=8200(元)

方案三：由北京运往武汉4台，运往重庆6台，由上海运往往武汉2台，运往重庆2台，运费为4×400+6×800+2×300+2×500=8000(元)

方案四：由北京运往武汉5台，运往重庆5台，由上海运往往武汉1台，运往重庆3台，运费为5×400+5×800+1×300+3×500=7800(元)

方案五：由北京运往武汉6台，运往重庆4台，由上海运往往武汉0台，运往重庆4台，运费为6×400+4×800+0×300+4×500=7600(元)

综上知既使武汉、重庆都能得到所需要的仪器，又使运费最低的方案是：由北京运往武汉6台，运往重庆4台，由上海运往往武汉0台，运往重庆4台．

总之，题中有时候有明显的表示不等关系的文字，可以直接转化为不等式或不等式组；有时题中暗含着不等关系，需要通过结合实际意义分析挖掘出不等关系，列出不等式或不等式组，一般设计方案的问题列出的是不等式组．