巧用相似三角形，妙解解析几何问题

刘卫兵

摘要: 在解决高中某些平面解析几何问题时，若能根据题意，巧妙地利用初中相似三角形的性质，也可以解决问题，有时还能简捷明快地将题目解出。

利用相似三角形解决平面解析几何问题的题有很多，大家平时可以做个有心人，在运用相似三角形解决平面解析几何问题时会有意想不到的简捷效果。

关键词：解析几何 相似三角形 解决问题 简捷效果

初中数学教学内容是高中数学内容学习的基础，它们之间联系紧密，比如相似三角形。在解决高中某些平面解析几何问题时，若能根据题意，巧妙地利用相似三角形的性质，也是可以解决问题的，有时还能简捷明快地将题目解出，下面举例加以说明。

例1、如图，已知 为椭圆C的左焦点， 、 分别为椭圆的右顶点和上顶点， 为椭圆上的点，当 ， ∥ （ 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率e。

分析：求椭圆C的离心率e，即求 ，

那么只需求 、 的值或 、 用同一个量表示

或建立起只含 、 的方程再将 看成一个整体。

由于本例没有具体数值，因此只需把 、 用同一个量表示或建立起只含 、 的方程，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质得到相等关系从而解决所求的问题。

解法一：设椭圆C的方程为 （ ）

如 图，由 ， 得 即

由 ， ∥ 易证 ∽

∴ 即

∴ 又

∴椭圆C的离心率

解法二：设椭圆C的方程为 （ ）

如图，由 ， 得 即

因 为 ∥ ，所以 ，即 ，

所以 又

∴椭圆的离心率

解法一是由于 ， ∥ ，从而容易得到 和 相似，故考虑用相似三角形的对应边成比例这个性质解决问题，首先得到 ，从而求得椭圆的离心率 ；解法二是通过 ∥ 得 ，得到 ，同样求得椭圆的离心率 。列举该题两种解法的目的在于说明解平面解析几何问题时不必拘泥于高中知识，可尝试利用初中平面几何知识——相似三角形解决问题，而该题也确实可以，这是本文的第一个目的：可解决问题。

例 2、如图，设椭圆 的左右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上的一点， ，且坐标原点 到直线 的距离为 。

（1）求椭圆 的方程；

（2）略。

分析：求椭圆 的方程即是求实数 的值，因此只需要找出一个相等关系来建立起实数 的方程。由题意可知，能代表该题的一个相等关系为“坐标原点 到直线 的距离为 ”，也就是说可利用它来建立起实数 的方程，并求得实数 的值。

解：（1）解法一：如图，作 ，垂足为 ，依题意得

∵

∴ ，则

由 和 即

易证 ∽

∴ 即

∴ 即 ，又

∴

∴椭圆 的方程是：

解法二：由题设知 ，

由于 ，则有 ，所以点 的坐标为

故 所在直线方程为

所以坐标原点 到直线 的距离为

又 ，所以 解得：

∴椭圆 的方程是：

本题解法一利用“点到直线的距离”得到一个 ，并且可证明该直角三角形与已知 相似，通过相似三角形的对应边成比例这个性质得出 ，再由椭圆的性质： （ ），得 ；解法二先由 、 两点确定直线 的方程，并求得坐标原点 到直线 的距离，再通过该距离为 ，建立起方程 ，最后解方程求得实数 的值。该例的两种解法孰优孰劣一目了然，其区别就在于计算。解法二求直线 的方程以及求坐标原点 到直线 的距离时相对要麻烦一点，计算量也大，不细心的话很容易计算错误，解法一就只需求方程 的根，计算量偏少。学生大都认同解法一，这是本文的第二个目的：能简捷明快地将题目解出。

例3、已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴的长为 ，离心率 .

（1）求椭圆C的标准方程；

（ 2）如图，设 为坐标原点， 是椭圆C的右焦点，点 是直线 上的动点，过点 作 的垂线与以 为直径的圆交于点 ，试探究线段 的长是否为定值？并说明理由.

分析：（2）要探究线段 的长是否为定值，

一般先讨论特殊情况即点 在 轴上时，

利用可能解决问题的知识、方法求得线段 的长，

然后根据特殊情况的解题思路去判断一般情况即点

不在 轴上时，线段 的长是否为定值。由于圆是初中学习过的平面图形，故该题可以尝试利用圆的相关性质进行解答。

解：（1）由 得 ，由 得

∵ ∴ ，

∴所求的椭圆的标准方程为： 或

（2）解法一：当点 在 轴上时，如图（1），

连接 ，则 ，又 ，

可 证得 ∽

∴

∴

当点 不在 轴上时，如图（2），连接 ，

则 ，又 ，垂足为

可证得 ∽

∴

∴

记直线 与 轴的交点为

由 ， 可证得 ∽

∴

∴

∴

综合上述：线段 的长为定值

解法二：设点

以OM为直径的圆上任一点Q的坐标为 则由 得 即

若 ，则以OM为直径的圆方程为 ，即 ，设圆心为A,易知△ONA为等边三角形，∴

若 ∵ ∴

∴ 直线FN的方程为

设点N的坐标为

则 ---------------------------①

-----------------------------②

由②得 代入①得 即

∴

综合上述：线段 的长为定值

解法一的思路是因为点 在 轴上时，可得到两直角三角形： 和 ，并可证明它们相似，再利用相似三角形的性质得到 ；当点 不在 轴上时，由特殊情况得到启发，可证明 ∽ 和 ∽ 得到 。解法二是常规解法，需要引入参数，设点 ， ，当 时容易得到 ，当 时建立参数 、 、 的方程组，消去实数 后得 ，即 。解法二需要引入的参数有3个，基础一般的学生较难想到，且解题过程略为复杂，若用解法一则只需要证明两次三角形相似即可得出结论。这是本文的第三个目的：以形制动。

事实上，利用初中相似三角形的知识解决高中平面解析几何问题的题还有很多，大家平时可以做个有心人，在运用相似三角形解决平面解析几何问题时会有意想不到的简捷效果。

参考文献：

1、陈晓明，杨良畏〈〈例谈中学数学与高等数学之间联系〉〉，中学数学研究，2018第6期

2、孙名坚《为有源头活水来》，中学数学研究，2018第6期