以“分数概念”为例，探究小学数学概念整体建构的有效策略

王冬 沈利钢

【内容摘要】在实际教学过程中，教师对分数的内容缺少系统化解读，缺乏整体的教学观，导致学生对分数的理解片面化与碎片化。为此，我们重新研读教材理清知识脉络，针对意义相互交织明晰教学线索，从而理清了内容编排的“序”；同时深入思考确定了教学的“策”，采用对接对比促进分数量率双生双长，算用结合促进分数意义的深度理解，将量与率巧妙对接，感受量率的异同，并在算理理解与数量关系梳理中进一步促进学生理解分数意义，从而帮助学生很好地建构分数概念。

【关键词】分数概念 整体建构 策略

一、寻查问题缘由

利用分数知识解决问题是小学数学学习的重点与难点。分数概念比整数、小数更抽象，在度量、计算与解决问题方面与整数、小数存在较大差异。虽然很多一线教师在这方面做了一些研究，取得了一定的成果。但纵观这些研究成果，真正突破难点的不多。

（一） 学情调查

近四年，笔者一直执教六年级数学。六年级分数应用题，错误年年有，且年年相似。笔者归纳了教学过程中出现的常见错误，梳理发现主要存在以下几个方面的问题：

1. 分数“量”与“率”的意义混淆

   例1：把 米长的一根小棒平均分成3段，每段占全长的（ ），每段长（ ）。

   错误：第一空的错误率为19%，第二空的错误率为24.8%。 分析：本题考查学生对于分数量与率的理解。第一空表示1段长与5段长的关系，第二空表示每一段的实际长度。可以看出，还有部分孩子无法从意义上做出准确识别，说明孩子们对分数量与率相混淆的原因在于对两者的意义不明。

2. 分数的“份数定义”根深蒂固

   例2：通过画一画与写一写的方式，至少用两种方法表示出 的含义。

   错 误：此题错误率为8.6%，大部分学 生能用画图或文字表达 的意思。 分 析：虽然孩子们用不同的图示表达了 的含义，但它们的本质是一样的，都把整体平均分成三份，表示其中的两份（如图）。说明学生对分数的份数定义已经根深蒂固，习惯把分数看成是几份中的几份，不习惯把分数看成是两个数的商或两个数的比。

3. 分数解决问题中数量关系不明

实践中，笔者时常发现学生不能对情境中的分数做出合理解释，导致无法理清数量关系而解题失败，对他们而言，分数概念的抽象性，直接影响了问题解决中数量关系的理解。

例3：一件衬衣售价200元，比进价低了 ，这件衣服进价多少元？

错误：做错人数占比为32.8%。 分析:解决此题的关键是理解“比进价低了 ”这句话的含义。错的学生大多列式为200×（1－ ）。说明学生只是记住了问题的结构特征，套用了解题模式，却没有从分数的意义出发把握数量关系。

（二）教材分析

笔者发现，学生在分数的学习过程中，所产生的系列问题，与我们教材中内容编排上有着很大的关联度：

1. 内容安排重“率”轻“量”

分数“率”的意义可以理解为两部分之间的关系，而“量”是把分数作为一个数来理解。然而，“率”的意义理解则是分数教学的重点，也是核心：第一阶段《分数的初步认识》单元围绕分数的份数定义进行编排，体会部分与整体的关系，是一个“率”。第二阶段使学生认识部分与部分的关系，分数还是一个“率”，第三阶段《百分数的认识》、《比的认识》内容中，分数仍然是一个“率”。教材的编排重“率”轻“量”。

可是从数与量的角度来认识分数，更利于学生把分数与整数、小数一样纳入数的认识的知识结构体系中。“量”与“率”构成了分数意义的丰富性认识，为了区分两者的含义，需要我们在某些例题和习题中，适当穿插量的概念，做适当补充。

2. 度量意义的价值体现不够

分数从量的角度去学习理解时，要注意它的度量意义的渗透。教材中主要安排了“分数单位”的认识，对于“分数单位”教材主要在于辨别谁的分数单位是谁，有几个这样的分数单位上，没有充分体现分数单位的价值。

“ 假分数”内容，教材没有从分数单位累加的角度呈现形成过程，而是让学生看分数涂色来发现分子分母的大小关系（如右图），教学中发现，看分数画图与看图写分数对学生而言都是困难的，而利用分数单位的叠加，引导学生“数”分数单位的个数，能帮助学生有效建构起假分数的概念，并为学生体会“分数和整数一样是一个数”奠定基础。

（三）教学审视

同时，教师在教学过程中，也存在教材怎么编，我就怎么教，学生已有哪些认知，也没有做很好的学情分析：

1. 缺乏对分数教学的整体把握

大多数一线教师对分数知识的教材体系缺少系统研读与梳理，没有做到整体把握，使得教学内容孤立单一，导致意义断层。如《分数的初步认识》单元，教师只注重引导学生观察平均分了几份，涂了几份，再写出几分之几，到五年级下册分数意义单元，仍强调几份中的几份，忽略了分数可表示两个量的关系，致使学生无法判断分数问题中谁是标准量，谁是比较量，造成对题意理解不明无法解答。因此，只有教师正确把握分数概念的本质，有的放矢、适当拓展，才能帮助学生建构起分数概念。

2. 知识抽象性与思维形象性冲突

学生学习分数概念时，还习惯于具体的形象思维，一下子抽象的概念使得学生在理解上容易出现断层，需要有个逐步抽象的过程。

如：分数的无量纲性，不管分一个桃子还是一盘桃子，只要平均分5份，每一份都可以用 表示，与整体多少无关，学生在认识上会存在障碍。另外“假分数”也是一个学习难点，从等分整体的角度出发，他们不明白为什么表示的份数可以超过整体的份数。

再 如，分数的计算与应用，其计算原理和数量关系非常抽象，即使用我们所谓的直观图示，很难讲清道理。如分数除法中“一个数除以分数”的例题，教材借助线段图来说明“2÷ ”的计算算理（如右图），课堂上我们发现，全班没有一个学生能画出这样的线段图，教师直接出示这副线段图进行讲解，大多数孩子仍表示难以理解。

二、探寻解决策略

前面分析了学生的学习困难，从某些层面读懂了学生，接下来要寻找解决问题的策略，我们认为可以从研读教材开始，理清教材编排的“序”，然后确定教学的“策”，即打通分数教学的各个节点，整体认知分数。

（一）研读教材，理清编排的“序”

分数意义分布在各个学习阶段，一线教师首先应读懂教材，理清分数内容的编排脉络，掌握学习序列，做到心中有纲，才能驾驭于教材之上使教学游刃有余。

1. 梳理教材内容，理清知识脉络

笔者选取了人教版教材，对小学阶段分数内容进行了细致梳理，发现分数意义的学习需要经历以下几个阶段：

年级与内容	具体例题与教学指向
二年级上册 认识平均分	通过经历平均分活动，为初步认识分数积累学习经验。
三年级上册 分数的初步认识	在分数的初步认识中直观认识部分与整体之间的关系。
五年级下册 分数的意义和性质	从“一个物体的几分之几”的理解拓展到“一些物体的几分之几”，进一步理解部分与整体的关系。
	认 识分数单位，理解分数可看成是分数单位叠加而成，感受分数的度量意义。
	通过平均分，联系建立分数与除法的关系，理解分数的量的概念。
五年级下册 分数的运算及解决问题	学生综合运用对分数意义的多维度理解，解决生活中的实际问题。同时在计算与解决问题中进一步巩固加深对分数概念的认识。
六年级上册 分数的运算及解决问题
六年级上册 比的认识	从“率”的角度，沟通分数、除法和比的关系。

以上五个阶段并不是孤立的，不能片面理解为到哪个阶段就只要学生达到这一维度的理解即可，其他维度的含义就不涉及了。它不是简单的线性排列，而是相互渗透、相互补充、不断发展提升的过程，逐步帮助学生建构对分数意义的理解。

2. 意义相互交织，明晰教学线索

上述是对分数整体编排框架的分析，如果再对其内容进行精细化地研究与整理，可以发现人教版教材教学线索是从率到量，是先学习分数“率”的意义基础上，再逐渐渗透分数“量”的意义的过程。如果说“率”的教学是一条明线，“量”的教学就是一条暗线，两条线相互交织，共同生长。

第一阶段认识的分数均不带单位，是“率”。分数“量”第一次出现在三上分数单元最后（图1）。然后是在五年级下册《分数与除法》一课，“1个月饼平均分给3个人，每人分得 个”（图2），沟通分数与除法之间的联系，从数学知识的内部发展阐述了分数产生的必要性，使学生明白分数也可像整数、小数一样作为计算的结果。

图1

图2

自此，在后续的内容中两种含义交织出现。教师要抓住这两条知识线，理清脉络，双管齐下，齐头并进，促进两种意义共同发展。

（二）深入思考，确定教学的“策”

教学中如何突破，我们的思考如下：

1. 弱化学材的“份数定义”

学生在“平均分”的基础上理解分数的“份数定义”并不难，根据直观图示，

学生都能正确地填出几分之几，但如果仅仅如此，只会让学生对分数的理解只会停留于浅层次，应向更为抽象的分数定义转移。

如 “认识几分之几”中的例5（图3），教材通过把1分米长的彩带平均分成10份，让学生写出每份、3份、7份分别是它的几分之几？如果只是让学生关注平均分的份数以及表示的份数，那么就只是前一节课的延续，仍是基于分物活动基础上的份数意义的理解。笔者认为，可以把份数定义稍加拓展，自然过渡到分数的度量意义。可引导学生进一步思考：1分米的

就是 分米，3个 分米就是 分米，7个 分米就是 分米，教师一边引导，一边动画演示分数单位叠加过程，继续叠加，8个，9个，10个这样的单位又是多少？如果是11个呢？（见图4）既让学生体会到分数可看作分数单位累积的结果，也能避免份数定义中“分数小于1”的局限，为学习分数单位和假分数奠定基础。

2. 借助模型过渡到“商定义”

在教学中我们时常发现，学生在计算整数除法遇到不能整除时往往用小数来表示商，而不选择分数来表示计算结果；在计算3:5的比值时也习惯用0.6，而不写成 。显然，学生对于分数作为除法运算结果的认可需要一个较长的接受过程，这也从另一个侧面表明学生对于分数是一个数的认知不到位。

因此当学生对分数的份数定义有了一定的认识后，当除法得不到整数商时，需要适时过渡到“商定义”，使学生明白，除了小数还可用分数来表示计算的结果。

教师可先引导学生根据以下问题列出算式，并选用较为抽象的长方形图来表示问题③④⑤计算结果，接着引导学生在数轴上找到3、2、 、 、 各数的位置，使学生明白分数也可以像整数一样在数轴上找到相应的点，且这个点有位置又有顺序。

①把9米长的铁管平均分成3段，每段长几米？9÷3=3（米）

②把6米长的铁管平均分成3段，每段长几米？6÷3=2（米）

③把1米长的铁管平均分成3段，每段长几米？1÷3= （米）

④把1米长的铁管平均分成5段，每段长几米？1÷5= （米）

⑤ 把1米长的铁管平均分成8段，每段长几米？1÷8= （米）

3. 深化概念沟通“比定义”

教材对“比”的定义是：“两个数相除又叫两个数的比”。学生往往会有这样的疑问：既然比就是两个相除，为什么还要学习比呢？大多数教师会引导学生对于分数、除法和比之间的沟通，也只是在形式上进行勾连，如： =1÷4=1:4，却极少在这三者的内涵意义上建立联系。

笔者认为在教学“比的意义”一课时，应该对分数的多种意义进行整合与沟通。可引导学生从三种角度来理解 ： 可以表示4份中的1份； 可以表示平均分的结果； 可以表示1份与4份的比（如下图）。通过对分数与除法、比概念的对比整合，进一步强化学生对分数的深认知。

三．采撷实践过程

根据上述教材的“序”与教学的“策”，我们又确定了具体的教学对策，实践过程如下：

（一）对接对比促进分数量率双生双长

笔者用同一道题：把7米长的绳子平均剪成3段，每段长（ ）分米，每段占全长的（ ），对五、六年级的学生做过调研。结果是：五年级正确率约是60%，六年级的正确率约为70%。那我们不禁要思考：为什么六年级学生对此题的理解，并没有明显的提高呢？

我们认为，学生虽然经历了较长的学习过程，但对于分数“量”与“率”的定义仍没有达到本质上的理解。教学中可创设有效的情景或设计针对性习题，使两种含义整体呈现，引导学生进行对比，发现它们的联系与区别，建立正确的量与率的概念。

1. 提前孕伏，量与率巧妙对接

教材中对分数“量”与“率”的编排不尽相同。我们的人教版、苏教版、北师大版教材，都是从“率“引入，再从“率”到“量”。而台湾版教材是从“量”的意义引入，后续的分数比大小，真分数与假分数、分数与除法的关系等知识的学习都是基于量的意义展开。如下表所示：

版本	教材编排中分数的“量”与“率”的先后次序
人教版	先“率”后“量” 先“率”后“量”	三年级下册《分数的初步认识》中出现“率”，五年级下册《分数的意义》中接触“量”
北师大版		三年级下册《认识分数》中出现“率”， 五年级上册《分数的意义》中接触“量”
苏教版		三年级上册《分数的初步认识（一）》出现“率” 五年级下册《分数的意义和性质》中接触“量”
台湾版	先“量”后“率”	三年级上册《分数》中出现“量”， 四年级下册《分数》单元末出现“率”
我们的思考：不管是从“量”引入还是从“率”引入，两种意义的出现都不能 过于滞后；过份强调任何一个，都不利于另一个意义的发展

虽然大陆教材中分数教学都是先“率”后“量”，但台湾版教材给了我们一个启示：分数的学习也可是一个从“量”到“率”的过程。笔者认为在《分数的初步认识》中就可以对分数量的意义做适当渗透，使量与率巧妙对接。于是进行了以下的教学实践：

首先通过分月饼的过程初步认识一个月饼的 ，知道一个月饼的 就是 个月饼。然后引导学生根据以下材料填空：

把一个西瓜平均分给2人，每人分到（ ）个西瓜。

把1厘米线段平均分成2段，每段长（ )厘米。

把1千克糖平均分成2袋，每袋重（ ）千克。

接着整体出现以上4组材料（如下图），让学生思考这四组材料有什么共同地方？有什么不同的地方？让学生感受到此四组材料的相同点是：都是把一样东西平均分成2份，表示其中的1份，就是它的 ；不同点是：分的东西不同，得到的 的量的大小不同。

以上材料的运用，由分数率自然地过渡到分数量，学生在对比中掌握了 的本质，同时感受当分的物体是1个单位的时候，分数量与率的数值相等，体现了分数率意义时单位“1”的重要性。

2. 对比题组，感受量率的异同

分数量与分数率的本质区别在于“量”表示一个固定的值，而“率”指的是份数比，它体现了分数的无量纲性。

虽然分数“率”与“量”的意义不同，但在某些具体情境中存在着一定的联系的。如：2米的 是 米，10米的 是 米，但当这个整体正好是一个整数量时，分数量与率的数值又正好相等，如1米的 就是 米。

分数“量”与“率”的特别意义对学生来说较难理解。教师可设计对比题组，引导学生进行分析，感受异同，从而把握本质，做到较好区分。

题组1：3米长的绳子平均分成5段，每段占全长的（ ），每段长（ ）米。

分 析引导：解决此题，教师一般采用的教学方法是：算分率，用单位“1”除以段数；算量，用总长除以段数。然而学生有可能只是记住了解决的程序和步骤，那么只要间隔一段时间或者题目稍加改变，学生又会陷入迷糊之中。所以我们需要借助图示。

3米折成3个1米叠在一起平均分5份，每份是整体的 ，而每份里面又有3个 米，所以每份长 米。接着让学生借助这样的图示，想象如果平均分4米长的绳子、8米长的绳子又会怎样？最后整体呈现三组题目，引导学生观察发现，把绳长看作整体“1”，用“1÷段数”；每段的长度与绳子总长有关，用“绳长÷段数”。

教师可经常设计如上述过程中类似的对比题组，借助图示表征，引导学生暴露思维，帮助学生辨析，在辨析中感受异同，进而提升认识。

（二）算用结合促进分数意义的深度理解

分数的计算及解决问题是分数知识的综合运用，需要学生充分思考数量关系才能解决现实问题。但是，教师往往只在认识分数的起始课中注重对分数意义的教学，到了分数的综合运用阶段，往往忽略对意义的进一步讨论与思考。所以，我们不仅要注重起始阶段意义的教学，也要注重后续学习中分数的应用与拓展。

1. 分 数运算中深化分数意义的理解

分数加减法是计数单位的增减过程，对这一原理的理解能使学生进一步掌握分数单位的概念，弥补教材对分数单位度量意义不足的缺陷。同时，利用数形结合的方法（如右图），注重与整数加减法和小数加减法的算理沟通，加深学生对分数的认识。

分数乘除法，算理更为抽象些。其中“分数乘分数”与“一个数除以分数”的算理理解是学生学习的难点。笔者认为学生在借助直观进行操作时，理解单位“1”的转换是理解算理的关键。如“分数乘分数”中例3“ × = ”的教学，这里的 公顷的单位“1”是1公顷， 的单位“1”是 公顷，计算结果 公顷的单位“1”又是1公顷。这一算理的理解是基于学生对分数意义理解基础上进行的，同样，教师借助图形讲清算理的过程，是学生对分数意义理解的又一次巩固与深化，如上述过程，学生不仅认识到单位“1”的重要性，还能感受到量与率是可以互相转化的，如 公顷可以看成1公顷的 , 公顷可以看成1公顷的 。

2. 数量关系梳理促进分数意义的理解

史宁中教授在其著作《基本概念与运算法则》一书中指出：“解释题中分数的含义是一个破题的过程，也就是解释这道题的含义的过程。

如前面的例3，错误率达32.8%，其原因是不理解“比进价低 ”的具体意义，也就无法做到破题。那该如何引导学生破题？笔者认为，以关键句作为破题的突破口，对句中分数的意义做深入解读，努力引导学生由一种表述转换成多元表述，在不断的转换中把握数量关系。

例1：关键句：男生比女生少

_{图示：女：}

_男：

关键句的转换：

少的 是女生的 ；

男生比女生少女生的 ；

男生是女生的（1－ ）；

女生是男生的 ；

女生比男生多 ；

例2：关键句：男生是全班人数的

图示：

关键句的转换：

女生是全班人数的 ；

男生是女生的 ；

女生是男生的 ；

男生比女生少 ；

女生比男生多

男生

比女生少

在教学中教师应引导学生在直观图形的基础上进行多种表述的转换训练，促进学生对分数意义的深度理解。

四．教学后测分析

（一）后测统计

经过几年的学习、研究与实践，学生对分数内容的掌握情况又如何呢？笔者对自己任教的一个六年级教学班共40人做了后测，具体数据如下：

测试题	正确率
把一根 米长的绳子平均截成5段，每段占全长的（ ），每段长（ ）。	87.5%
通过画一画与写一写的方式，至少用两种方法表示出 的含义。	97.5% （表达方式已经不局限于三份中 的两份，有45%的学生出现2除以3和2比3的含义。）
一件衬衣售价200元，比进价低了 ，这件衣服进价多少元？	90%

从数据中可以看到，在学生的头脑中分数已经不仅是几份中的几份，还是两个数相除的商，还是两个数的比，分数意义的建立全面丰满；学生对于分数量与分数率能做到本质上的区分，能较精准地解决关于量与率的问题；学生能基于分数的意义对问题中的数量关系进行合理分析，做到准确把握，分数解决问题正确率有明显提高。

（二）研究后思

通过实践研究，笔者认为在分数教学中还需注意以下几点：

1. 注重直观模型的多元化

分数意义是多层次的，认识分数的模型也是多层次的。教材提供的分数模型有：直观模型、集合模型、数轴模型三种（如下图）。

面积模型与集合模型可以帮助学生直观理解分数的份数定义，不同的是面积模型的整体是一个物体，而集合模型中的整体是多个离散的物体，需要学生更高的抽象力。数轴模型即用数轴上的点来表示分数，有助于学生理解分数的度量意义，对假分数的理解以及分数加减法运算算理的理解都发挥着不小的作用，但是这种模型的理解需要学生更高的抽象水平。在教学中，教师要注重为学生提供多种直观模型，发挥每种模型的作用，帮助学生理解分数的多种含义，同时也要注意到每种模型的抽象性，考虑每个时期孩子思维水平的可接受性。

2. 适度把握抽象水平

小学阶段分数定义的扩充过程，是一个逐步抽象的过程。份数定义最为直观、最易理解，因此到第二阶段的分数学习应尽快过渡到更为抽象的商定义和比定义。同时也要考虑不同孩子思维水平的差异，允许部分孩子在较长的时间内逐步理解与内化。

【参考资料】：

[1]朱小平.整体视角下的内容选择与教学实施[J].教育视界，2015年第8期

[2]孔美兰.提升认识：“分数的意义”教学[J].小学数学教育，2015年3月

[3]庞云霄.定位 联接 迁移 重构[J].http://max.book118.com/

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