神奇的隐函数求导法

(整期优先)网络出版时间:2021-02-24
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神奇的 隐函数求导法

王加振

临沂职业学院 276000

摘要:有些隐函数不容易或者不能够化为显函数,例如60360c37c00a3_html_e795a33b8202c595.gif .对于这种隐函数求导数的法则是:对二元方程的两端同时求关于自变量60360c37c00a3_html_491c9b081ec0083b.gif 的导数,但是遇到含有60360c37c00a3_html_7063252e42ad6a9a.gif 的复合项,要把变量60360c37c00a3_html_4aab2cbca0947bed.gif 看成中间变量,运用复合函数的求导法则先对中间变量求导,再乘以中间变量对60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的导数,得到一个含有60360c37c00a3_html_f684eaeb54fe494e.gif 的方程式,然后从中解出60360c37c00a3_html_f684eaeb54fe494e.gif 即可.

关键词: 隐函数 显函数 导数 幂指函数


  1. 隐函数的定义

用解析法表示的函数,通常采用两种形式:一种是把函数60360c37c00a3_html_7bed56f603b21fe9.gif 直接表示成自变量60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的函数60360c37c00a3_html_29ab1f0fc6ff1760.gif ,称为显函数.比如60360c37c00a3_html_b466f3e1129e3f5.gif60360c37c00a3_html_8e90e8ea4ac89d3b.gif 等;另一种是因变量60360c37c00a3_html_7bed56f603b21fe9.gif 与自变量60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的函数关系由二元方程60360c37c00a3_html_b96daf224da3eea4.gif 来确定,60360c37c00a3_html_7bed56f603b21fe9.gif60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的函数关系隐含在方程之中,这种由二元方程60360c37c00a3_html_b96daf224da3eea4.gif 所确定的60360c37c00a3_html_7bed56f603b21fe9.gif60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 之间的函数关系称为隐函数.比如:60360c37c00a3_html_6ea4a06bf53a541a.gif60360c37c00a3_html_22aa13db2805276a.gif60360c37c00a3_html_e795a33b8202c595.gif 等.

有些隐函数可以化为显函数,例如隐函数60360c37c00a3_html_6ea4a06bf53a541a.gif 可以化为显函数60360c37c00a3_html_ce2031c94bb1fc7d.gif ;对于这种隐函数的求导,一般的是先把函数进行显化,之后再应用基本求导公式和复合函数的求导法则计算导数即可.有些隐函数则不容易或者不能够化为显函数,例如60360c37c00a3_html_e795a33b8202c595.gif .对于这种不能显化的函数,如何计算隐函数的导数呢?下面的隐函数求导法就能够非常巧妙地解决这个问题.

二、隐函数的求导法

隐函数求导数的法则是:对二元方程的两端同时求关于自变量60360c37c00a3_html_491c9b081ec0083b.gif 的导数,但是遇到含有60360c37c00a3_html_7063252e42ad6a9a.gif 的复合项,要把变量60360c37c00a3_html_4aab2cbca0947bed.gif 看成中间变量,运用复合函数的求导法则先对中间变量求导,再乘以中间变量对60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的导数,得到一个含有60360c37c00a3_html_f684eaeb54fe494e.gif 的方程式,然后从中解出60360c37c00a3_html_f684eaeb54fe494e.gif 即可.下面举几个例子来说明这种求导方法的灵活应用.

实例1 求由方程60360c37c00a3_html_22aa13db2805276a.gif 所确定的隐函数60360c37c00a3_html_c6c7c0872de2f189.gif 的导数.

分析 在本题中有一个复合项60360c37c00a3_html_deb63eeddf185b85.gif ,把60360c37c00a3_html_18c6b6ee267e8438.gif 看成中间变量60360c37c00a3_html_4956ef947f041ae9.gif ,因此60360c37c00a3_html_deb63eeddf185b85.gif60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的导数是60360c37c00a3_html_d99b02cce0038dd9.gif ,注意一定要乘以中间变量60360c37c00a3_html_4956ef947f041ae9.gif60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的导数是60360c37c00a3_html_9d3f911947740ac7.gif ,这是本题计算导数的关键.在方程中还含有一个乘积项60360c37c00a3_html_647d39435f57fee8.gif ,要按照积的求导法则进行计算.

方程两端同时对60360c37c00a3_html_aa413128da63613e.gif 求导,得 60360c37c00a3_html_cd7494efa5d53785.gif

整理得 60360c37c00a3_html_90321dd2f290c3bf.gif

解得 60360c37c00a3_html_383c493358618a6b.gif

实例2 求由方程60360c37c00a3_html_e795a33b8202c595.gif 所确定的隐函数60360c37c00a3_html_c6c7c0872de2f189.gif 的导数.

分析 在本题中有一个复合项60360c37c00a3_html_73faca6b7cb62957.gif ,要把60360c37c00a3_html_7045ca16fb75a679.gif 看成中间变量,因此60360c37c00a3_html_3ea0390a69e6db46.gif60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的导数是60360c37c00a3_html_6ba04c9338c7b22f.gif .在方程中还含有一个乘积项60360c37c00a3_html_fad94398260bd0a8.gif ,但是它不是含有60360c37c00a3_html_be7b6805a2519a85.gif 的复合项,直接按照积的求导法则进行计算就可以了.

方程两端同时对60360c37c00a3_html_aa413128da63613e.gif 求导,得 60360c37c00a3_html_7d126c82a48e8814.gif

整理得60360c37c00a3_html_a580b024c9255669.gif ,解得 60360c37c00a3_html_640d0f4494e8480.gif

实例3 求由方程60360c37c00a3_html_ade7b88157a6c513.gif 所确定的隐函数60360c37c00a3_html_c6c7c0872de2f189.gif 在点60360c37c00a3_html_dfa98991967bba45.gif 处的切线方程与法线方程.

分析 在本题中含有一个乘积复合项60360c37c00a3_html_9293fdbcab30308e.gif ,先按照积的求导法则进行计算,但是变量60360c37c00a3_html_47f51cb607238936.gif 是中间变量,因此60360c37c00a3_html_9293fdbcab30308e.gif 的导数是60360c37c00a3_html_7a2bee390140859.gif ;还有另一个复合项60360c37c00a3_html_7cb6c985bcfd42c1.gif ,把60360c37c00a3_html_7045ca16fb75a679.gif 看成中间变量,因此60360c37c00a3_html_a5abff902d4404f5.gif60360c37c00a3_html_431a638c8b0284b3.gif 的导数是60360c37c00a3_html_b6108cb8dc9ef3db.gif

方程两端同时对60360c37c00a3_html_aa413128da63613e.gif 求导,得 60360c37c00a3_html_5942755ff6c66aa5.gif

整理得 60360c37c00a3_html_8dfa2e8ddfe8bb07.gif ,解得 60360c37c00a3_html_81f81a32769e5f1d.gif

于是,所求切线的斜率为 60360c37c00a3_html_ca3d321276253ea9.gif

所求法线的斜率为 60360c37c00a3_html_83f6fe71cfb12878.gif

所以,在点60360c37c00a3_html_dfa98991967bba45.gif 处的切线方程为 60360c37c00a3_html_d6dc64e18b87c2bf.gif ,即 60360c37c00a3_html_364dc1f9f9af43a6.gif

在点60360c37c00a3_html_dfa98991967bba45.gif 处的法线方程为 60360c37c00a3_html_b9d81a77e3dbbe2c.gif ,即 60360c37c00a3_html_e461cb2eacceba17.gif

另外,在我们的高等数学学习中,还经常见到形如60360c37c00a3_html_fe1f54e0e7a598a8.gif 的幂指函数,比如,60360c37c00a3_html_b78460a5029e1e58.gif60360c37c00a3_html_1bdede5eb54c1b9.gif 等;还有多个因式乘积的函数,比如60360c37c00a3_html_eb686b0e4f18f55b.gif 等.对于这两种函数,如果用直接求导法来计算它们的导数是比较困难的.我们可以先对等式两边同时取对数(一般地是取自然对数),这样就把原来的函数化为隐函数,然后再用上面介绍的隐函数求导法就容易求出所需要的导数了.下面试举两例.

实例4 求函数60360c37c00a3_html_eb686b0e4f18f55b.gif 的导数.

分析 本题是多个因式之积形式的函数,如果直接按照导数的四则运算法则来计算导数的话,解题步骤是相当繁杂的.我们可以先对等式的两边同时取自然对数,就把积商形式的函数化简为和、差形式上的隐函数,再利用隐函数求导法则进行计算,这样可以很容易地求出所需要的导数了.

等式两边同时取自然对数,得:

60360c37c00a3_html_4bd76954ba612dfb.gif

它是隐函数,等式两边同时求关于60360c37c00a3_html_4fa73e52446a45e3.gif 的导数,得

60360c37c00a3_html_a212647074279a73.gif ,解得 60360c37c00a3_html_d30089df0d933eda.gif

60360c37c00a3_html_8e292b2b58d1a05f.gif

实例560360c37c00a3_html_b78460a5029e1e58.gif 的导数.

分析 本题是一个幂指函数,如果运用常规的方法直接计算导数是很困难的.我们可以先对等式的两边同时取自然对数,就把幂形式的函数化简为乘积形式上的隐函数,再利用隐函数求导法则进行计算,这样计算导数就容易多了.

等式两边同时取自然对数,得 60360c37c00a3_html_530e28c28bdfad3a.gif

它是隐函数,两边同时求关于60360c37c00a3_html_4fa73e52446a45e3.gif 的导数,得 60360c37c00a3_html_403c370d6e6a593d.gif

60360c37c00a3_html_6f0f85a475f890c7.gif ,解得 60360c37c00a3_html_8d9a091017440572.gif

60360c37c00a3_html_5ac2ac5fe477c90c.gif

运用隐函数求导法来计算隐函数、幂指函数、多个因式之积的函数的导数是不是很方便呢?希望这种方法能给大家的导数运算起到抛砖引玉的作用.在实际的导数计算中,我们要先对给出的函数进行分析,只要是隐函数、幂指函数或者是多个因式之积的函数,都可以运用隐函数求导法进行计算,当然牢记隐函数的求导法则是计算这类导数的基础.如果你对这种计算方法感兴趣,就赶快来试一试吧!


参考文献:

[1]《高等数学》 吴赣昌 主编 中国人民大学出版社

[2]《经管类高等数学》 蔡谋全、张利芝主编 高等教育出版社出版

[3]《高职应用数学》 杨凤翔 高等教育出版社