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摘要:有些隐函数不容易或者不能够化为显函数,例如 .对于这种隐函数求导数的法则是:对二元方程的两端同时求关于自变量 的导数,但是遇到含有 的复合项,要把变量 看成中间变量,运用复合函数的求导法则先对中间变量求导,再乘以中间变量对 的导数,得到一个含有 的方程式,然后从中解出 即可.
关键词: 隐函数 显函数 导数 幂指函数
隐函数的定义
用解析法表示的函数,通常采用两种形式:一种是把函数 直接表示成自变量 的函数 ,称为显函数.比如 , 等;另一种是因变量 与自变量 的函数关系由二元方程 来确定, 与 的函数关系隐含在方程之中,这种由二元方程 所确定的 与 之间的函数关系称为隐函数.比如: , , 等.
有些隐函数可以化为显函数,例如隐函数 可以化为显函数 ;对于这种隐函数的求导,一般的是先把函数进行显化,之后再应用基本求导公式和复合函数的求导法则计算导数即可.有些隐函数则不容易或者不能够化为显函数,例如 .对于这种不能显化的函数,如何计算隐函数的导数呢?下面的隐函数求导法就能够非常巧妙地解决这个问题.
二、隐函数的求导法
隐函数求导数的法则是:对二元方程的两端同时求关于自变量 的导数,但是遇到含有 的复合项,要把变量 看成中间变量,运用复合函数的求导法则先对中间变量求导,再乘以中间变量对 的导数,得到一个含有 的方程式,然后从中解出 即可.下面举几个例子来说明这种求导方法的灵活应用.
实例1 求由方程 所确定的隐函数 的导数.
分析 在本题中有一个复合项 ,把 看成中间变量 ,因此 对 的导数是 ,注意一定要乘以中间变量 对 的导数是 ,这是本题计算导数的关键.在方程中还含有一个乘积项 ,要按照积的求导法则进行计算.
解 方程两端同时对 求导,得 ,
整理得 ,
解得 .
实例2 求由方程 所确定的隐函数 的导数.
分析 在本题中有一个复合项 ,要把 看成中间变量,因此 对 的导数是 .在方程中还含有一个乘积项 ,但是它不是含有 的复合项,直接按照积的求导法则进行计算就可以了.
解 方程两端同时对 求导,得 ,
整理得 ,解得 .
实例3 求由方程 所确定的隐函数 在点 处的切线方程与法线方程.
分析 在本题中含有一个乘积复合项 ,先按照积的求导法则进行计算,但是变量 是中间变量,因此 的导数是 ;还有另一个复合项 ,把 看成中间变量,因此 对 的导数是 .
解 方程两端同时对 求导,得 ,
整理得 ,解得 ,
于是,所求切线的斜率为 ,
所求法线的斜率为 ,
所以,在点 处的切线方程为 ,即 ,
在点 处的法线方程为 ,即 .
另外,在我们的高等数学学习中,还经常见到形如 的幂指函数,比如, , 等;还有多个因式乘积的函数,比如 等.对于这两种函数,如果用直接求导法来计算它们的导数是比较困难的.我们可以先对等式两边同时取对数(一般地是取自然对数),这样就把原来的函数化为隐函数,然后再用上面介绍的隐函数求导法就容易求出所需要的导数了.下面试举两例.
实例4 求函数 的导数.
分析 本题是多个因式之积形式的函数,如果直接按照导数的四则运算法则来计算导数的话,解题步骤是相当繁杂的.我们可以先对等式的两边同时取自然对数,就把积商形式的函数化简为和、差形式上的隐函数,再利用隐函数求导法则进行计算,这样可以很容易地求出所需要的导数了.
解 等式两边同时取自然对数,得:
,
它是隐函数,等式两边同时求关于 的导数,得
,解得 ,
即 .
实例5 求 的导数.
分析 本题是一个幂指函数,如果运用常规的方法直接计算导数是很困难的.我们可以先对等式的两边同时取自然对数,就把幂形式的函数化简为乘积形式上的隐函数,再利用隐函数求导法则进行计算,这样计算导数就容易多了.
解 等式两边同时取自然对数,得 ,
它是隐函数,两边同时求关于 的导数,得 ,
即 ,解得 ,
即 .
运用隐函数求导法来计算隐函数、幂指函数、多个因式之积的函数的导数是不是很方便呢?希望这种方法能给大家的导数运算起到抛砖引玉的作用.在实际的导数计算中,我们要先对给出的函数进行分析,只要是隐函数、幂指函数或者是多个因式之积的函数,都可以运用隐函数求导法进行计算,当然牢记隐函数的求导法则是计算这类导数的基础.如果你对这种计算方法感兴趣,就赶快来试一试吧!
参考文献:
[1]《高等数学》 吴赣昌 主编 中国人民大学出版社
[2]《经管类高等数学》 蔡谋全、张利芝主编 高等教育出版社出版
[3]《高职应用数学》 杨凤翔 高等教育出版社