基于代理模型的吻切锥乘波构型优化

王娜 1，张钟元 2，李光昱 2

[摘 要] 乘波构型飞行器飞行工况复杂，气动性能要求高，因此需要通过多学科设计优化技术，发掘乘波构型飞行器的性能潜力，进一步满足实用需求。本文首先将吻切锥乘波构型参数化建模，通过改变各控制参数，生成不同乘波构型；其次利用拉丁超立方实验设计方法抽样，结合切楔面元法，计算不同样本点处吻切锥乘波构型在设计点Ma=6，H=30km的气动力性能，基于径向基函数插值（RBF）近似方法构建代理模型；最后以容积率和升阻比为目标对乘波构型飞行器气动外形进行优化设计，获得了三个较优的乘波构型。证明了通过代理模型技术能够提升吻切锥乘波构型的设计效率，并在满足概念设计精度要求的基础上，降低了优化算法的计算复杂度，为乘波构型的外形设计提供参考。

[关键词] 形状优化；乘波体；代理模型

[中图分类号]V211.3 文献标志码: A

Optimized Design of Osculating Cone Derived Waverider Based on Surrogate Model

WANG Na¹, HE Guo-yi², Li Guang-yu²

(1. Assembly Factory, AVIC Jiangxi Hongdu Aviation Industry Group Corporation Ltd, Nanchang 330024, China;

2. School of Aircraft Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China)

Abstract: In order to find optimum aerodynamics performance waverider shapes with lower compute costs, this paper presents a surrogate model based multi-objective design approach for conceptual design of an osculating cone derived waverider shapes. By parameterized the design process of osculating cone derived waverider，it can generate waverider shapes from changing the parameters reasonably. Latin hypercube sampling is selected as design of experiments method, radial basis functions (RBF) is introduced as approximation method into construct surrogate model, and goodness of surrogate model is valued by calculating root-mean-square error of additional points. Aerodynamic data of the osculating cone derived waverider are collected at Mach 6 with a height of 30km. The multi-objective evolutionary algorithm NSGA-Ⅱ which produces a set of Pareto solutions is employed as optimization strategy to obtain trade-offs between maximization of lift-to-drag-ratio and volumetric efficiency．

Key word: Shape Optimization；Waverider；Surrogate Model

1.引 言

乘波构型高超声速飞行器，是一种在设计工况下，外形产生的弓形激波能够附着在飞行器前缘，使得飞行器下表面产生均匀的流场，从而获得较高的升阻比的飞行器。乘波构型飞行器以其高升阻比及良好的气动性能成为近年来研究的热点。吻切锥乘波构型基于Sobieczky的吻切锥理论生成：一般三维超音速流的运动方程都可以在二阶精度范围内用一个轴对称流的运动方程来逼近

^[1]。因此相比于以往相对简单的“楔导”、“锥导”乘波体外形，吻切锥乘波构型具有更好的气动性能与容积率，并且在一体化设计上，更容易满足发动机和进气道的几何外形要求。

目前，乘波构型的基础理论研究已经取得很大进步，但距离工程实践还具有较大的差距，需要通过多学科设计优化技术，发掘乘波构型飞行器的性能潜力，进一步达到实际需要。乘波构型的气动外形优化设计技术都是基于计算流体力学仿真或者气动估算技术^[2]，在对其进行设计优化时，会有兼容性差以及数据处理复杂等问题，且计算效率低。在对设计精度要求相对较低的概念设计过程中，代理模型技术可以很好的解决以上问题。同时，利用全局搜索算法，能够快速在整个设计空间内获得较优的乘波构型，从而实现乘波构型的优化设计技术，降低计算的复杂度。

本文将吻切锥构型参数化建模后，通过改变各个控制参数，生成不同乘波构型。利用拉丁超立方抽样完成实验设计，采用径向基函数插值近似方法构建代理模型，结合切楔面元法，计算不同吻切锥乘波构型在设计点为Ma=6，H=30km处的气动性能；以容积率和升阻比为目标对乘波构型飞行器气动外形进行多目标优化。验证通过代理模型技术能够提升吻切锥乘波构型的设计效率，并在满足概念设计精度要求的基础上，降低优化算法的计算复杂度，为乘波构型的外形设计提供参考。

2.乘波构型参数化建模

根据Sobieczky等^[3-5]的吻切锥理论：在给定激波曲线的情况下，可以将三维超声速流场分割在若干个吻切平面（OP: Osculating Plane）内，并且在吻切平面内，三维流场可以在二阶精度范围内近似成为轴对称的锥形流场。为了尽量保证流场沿展向的连续性，要求各个吻切平面内的锥形流激波角相等，激波强度相同。因此，在确定了激波形状、激波曲线以及乘波构型上表面曲线之后，将激波曲线分割成若干点，通过几何方法计算出各点的吻切平面，通过上表面曲线沿纵向与激波曲线相交，可以找到乘波构型的前缘线，前缘线与吻切平面相交点为前缘点，在吻切平面内，通过流线追踪，可以找到通过各个前缘点的下表面曲线。因此根据设计思路，当选定乘波构型长度 、半展长b、翼尖高度h以及前体尖角 之后，通过设计乘波构型上表面曲线（USPC: upper surface profile curve）方程以及激波曲线（SWPC：shockwave profile curve）方程，即可确定乘波构型外形。

图1 设计参数

如图1所示，上表面曲线由直线AB、BC、CD组成，其中，A点Y轴坐标为乘波构型厚度，由乘波外形长度及激波角决定；D点坐标为半展长和翼尖高度；B点横坐标和C点坐标为上表面曲线的控制参数。

激波曲线由中间的直线段与外部的曲线段组成，它所确定的乘波体外形不但具有良好的气动性能与容积效率，并且能够产生均匀流场，为发动机提供所需的预压缩来流。图1所示的激波曲线由以下函数确定：

激波曲线直线段：

激波曲线曲线段：

式中， 与n为激波曲线控制参数，A可以通过已知的D点坐标求出。

通过合理的改变所设计的控制参数 ，可以得到不同的乘波构型，如图2所示。示例1中，激波曲线选择为2次曲线，示例2中，选择为4次曲线，具有一定上反角。

示例1 示例2

图2 设计参数

3.构建代理模型

构造代理模型需要经过以下三个步骤：首先，按照试验设计策略，抽取一系列的设计变量样本点；然后通过插值、拟合等近似方法建立样本点与响应输出之间简单的分析模型；最后通过模型验证技术分析代理模型的可信度之后用于优化设计。

3.1 拉丁超立方抽样方法

LHS OLHS

图3 抽样策略

当原模型确定之后，影响代理模型预测精度的因素主要有样本点的数量与分布，以及所选取的代理模型构造方法。其中，样本点的数量与分布不仅影响代理模型精度而且影响其计算量的大小，样本点数量过大则计算量大，样本点数量小则代理模型精度不够。因此，需要选择适当的实验设计方法（DOE: Design of Experiments），来平衡样本点规模与计算量之间的矛盾。目前拉丁超立方（LHS: Latin Hypercube Sampling）方法被广泛用于代理模型进行采样，但最初的拉丁超立方采样方法随机性强，均匀性差，如图3，在该方法的基础上，引入一定准则来保证其样本点的均匀性，这类方法叫优化拉丁方方法^[6]（OLHS: Optimized Latin Hypercube Sampling），本文将借鉴优化拉丁方抽样进行样本的采集。

3.2 气动力分析模型

本文采用工程计算方法分析乘波构型的纵向气动性能，采用切楔面元法估算迎风面气动力，而乘波体背风面流动结构复杂，使得精确计算非常困难，为了研究方便，本文假设背风面气压等于来流气压

^[5]。

粘性阻力的计算如下：

式中，q为动压， 为湿面积， 为平均粘性阻力系数，对于 的计算，本文采用参考温度法计算^[5]。

3.3 径向基插值建模

径向基函数主要用于多元函数插值中，具有形式简单、各向同性的特点^[7]。径向基插值可以表示成N个基函数的线性组合：

式中， 为各基函数的权重系数， 为基函数， 表示某点 到中心点 的欧氏距离：

通过给定的N个样本点，可以构造出径向基函数矩阵：

式中：

则可以求出权重系数矩阵：

将权重系数矩阵带入式（4）中，即可得到径向基函数模型：

3.4 模型验证

通过平方根误差RMSE（Root Mean Square Error）以及 检验^[8]来验证其近似效果，其中：

其中， 是验证点的个数， 是验证点集， 是近似模型给出的预测值。

， 越接近于1，模型越精确。

图4 基于代理模型优化算法流程

4.优化设计

4.1 优化模型

如图4所示为优化流程，主要分为：实验设计、构造代理模型、代理模型精度判别、乘波外形优化、误差分析及判别五大部分。倘若代理模型精度不够，不符合要求，则需同过随机采样补充样本点，重新构造代理模型^[9]。

以图2所示乘波构型为初始构型，采用基于遗传优化算法，分别以最大升阻比、最高容积率为设计目标，选取参数建模中的控制参数 作为设计变量， 以及飞行器半展长 ，乘波体长度为10m不变，针对吻切锥乘波构型在马赫数 ，高度为 ，攻角 的设计点的气动性能进行气动外形的优化设计。优化模型如式（12）所示。

其中，升阻比与容积率的定义分别为：

（13）式中， 为升力系数， 为阻力系数，（14）式中， 为乘波构型体积， 为乘波构型参考面积。

4.2 代理模型构建与验证

利用拉丁超立方试验设计方法在原模型上采集100个样本点带入原模型得到响应值点集，利用样本点信息和响应值，通过径向基函数插值构造代理模型。同时随机采样100个样本点对代理模型进行验证，验证结果如表1所示，精度满足要求^[10]。

表 1. 误差分析

RMSE	0.06173	0.03958
	0.93324	0.95423

4.3多目标优化设计

基于代理模型，采用NSGA-Ⅱ多目标遗传算法对乘波构型以升阻比与容积率为目标进行多目标优化设计。初始种群数量为100个，交叉概率为0.9，变异概率为0.1，截止条件为迭代100次，图5显示了优化设计所得到的Parato前沿。

图5 优化结果

从图5可以看出，在乘波构型的优化设计中，升阻比与容积率互为约束。当升阻比达到4.63时，容积率仅为0.155；而容积率达到0.184时，升阻比仅为4.16。经综合考虑，推荐以下A、B、C三组优化设计后的结果，如表2、图5所示。

表2. 推荐构型

构型	设计参数							设计目标
	/m	/m	/m	/m		/m	/rad
A	0.0824	2.4998	2.1995	1.0047	2.5539	3.6331	0.1144	4.4	0.17
B	0.0200	2.4999	2.1999	1.0000	2.8335	3.7141	0.0847	4.6	0.15
C	0.0124	2.4970	2.1999	1.0001	2.5597	3.6798	0.1371	4.1	0.18

(A) (B) (C)

图 5 推荐构型

5. 结 论

本文基于代理模型对乘波构型飞行器进行了优化设计。采用拉丁超立方实验设计方法与面元法获得了100个样本点，基于径向基函数建立了乘波构型气动力代理模型，并以平方根误差RMSE以及 检验为指标验证了代理模型的精度。最后，采用NSGA-Ⅱ多目标遗传算法对乘波构型飞行器以升阻比和容积率为目标进行了优化设计，获得了三个较优的设计结果。结果表明，基于代理模型的吻切锥乘波构型设计优化方法能够有效提高设计效率。

参考文献

1. H. Sobieczky and F. C. Dougherty. Hypersonic Waverider Design from Given Shock Waves. 1st International Waverider Symposium. University of Maryland, 1990.

2. Huang W and Ma L. A parametric study on the aerodynamic characteristics of a hypersonic waverider vehicle. Acta Astronautic, 69(2011):135-140.

3. Mark J. Lewis and Marie-Laure Chauffour. Shock-Based Waverider Design with Pressure Gradient Corrections and Computational Simulations. Journal of Aircraft, 2005, 42(5):1350-1352.

4. B. J. Tsai, Navier-Stokes Simulation for Waverider Including Turbulence，Heat Transfer, and Wakes.1992, University of Missouri Columbia.

5. L, Rasmussen M and R, Stevens D, On Waverider Shapes Applied to Aerospace Plane Forbody Configurations, AIAA-87-2550, 1987.

6. R, J., C. W and S. A, An Efficient Algorithm for Constructing Optimal Design of Computer Experiments. Journal of Statistical Planning and Inference, 2005. 135(1): 268-287.

7. Nestor V. Queipo and Raphael T. Haftka. Surrogate-based analysis and optimization. Progress in Aerospace Science, 41(2005):1-28

8. Tushar Goel Raphael T. Haftka Nestor. Performance Estimate and Simultaneous Application of Multiple Surrogates[C]. Portsmouth, Virginia: AIAA 2006-7047, 2009.

9. Nestor V. Queipo and Raphael T. Haftka. Surrogate-based analysis and optimization. Progress in Aerospace Science, 41(2005):1-28.

10. Wang ZG and Chen X Q. Research on the Theory and Application of Multidisciplinary Design Optimization of Flight Vehicle. 1st.Beijing:National Defense Industry Press,2006

作者简介：李光昱( 1988- ) ，男，汉族、江西永新，讲师，博士，南昌航空大学，330063。主要研究方向: 飞行器气动效能及飞行控制、计算流体力学。