U型渡槽渐变段数学模型与CAD建模

李强 1

摘 要：本文以直纹曲面为理论基础，采用直线向量方程推导出U型渡槽与明渠之间工程中广泛采用的直线扭面渐变段的空间坐标表达式。并结合实际工程例子实现U型渡槽直纹扭面渐变段三维实体快速建模。实践表明，Autocad三维建模技术可直观反映渐变段形状，且便于统计工程量。

关键词：渡槽渐变段 直纹扭面 CAD技术 图形建模

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作者简介：李强（1991—），男，四川三台人，硕士研究生，主要从事水工结构设计。Email:[e-mail]

0 引 言

水利工程中输水建筑物断面众多，为了使水流平顺流淌过不同断面，减少水力损失，常常需要在不同的建筑物之间布置渐变段进行过渡。渡槽渐变段在实际工程实施中常见5种形式^[1]：直线渐变型、曲线反弯型、八字形、直角型以及圆弧直墙型。其中直线型渐变段水力条件较好且施工难度也相对较低，因此被广泛采用。

U型渡槽连接明渠的渐变段表面均为扭曲面，其迎水面由双曲抛物面和锥状面两种曲面组成，背水面则由双曲抛物面组成。数学上扭曲面是一种特殊的直线面，扭曲面的连续两素线彼此交叉，不在同一平面内，因而是不可展曲面^[2]。双曲抛物面是由一直母线沿交叉两直线移动，且始终平行一个导面而形成的曲面，并且任意一点均有两条不同的直线经过，因其垂直于导面的截面轮廓呈双曲线，平行于两导面交线但是不平行导面的截面轮廓为抛物线而得名。锥状面是直母线沿着一直导线和一曲导线移动，且始终平行一导面而形成的曲面。

本文通过对实际工程中渐变段表面形状分析，通过向量法建立起渐变段直纹扭面点坐标的数学表达式。并介绍在AUTOCAD平台绘制出某工程渐变段实体模型方法，直观展示直纹扭面渐变段。

1. 扭面方程

1.1直导线扭面方程

U型渡槽一般由直段和曲线段构成，连接的渠道端一般为直线段。首先需要建立U型渡槽直线段与对应的渠道端直线段的扭面方程。

直纹扭面一般看做是一条直线连续运动的所经过的点的函数，设参数t，λ∈[0,1]，空间点A（x_A，y_A，z_A），B（x_B，y_B，z_B）为渡槽端直段上的点，点C（x_C，y_C，z_C），点D（x_D，y_D，z_D）为渠道端上的点，如图1。对于两端均为直线时其参数方程^[3]（详见公式1）:

图1直导线扭面坐标示意图

公式1

1.2曲导线扭面方程

当渡槽的圆弧段渐变到渠道直线端时，与两端均为直线的扭面形成的曲面控制点方程是有区别的。对圆弧段与直线段均采用等素线离散，U渡槽断面曲线段由1/4圆弧组成，且假设渡槽断面平行于XOY平面，其圆心坐标（x₀,y₀,z₀)，半径为r，如图2，则空间圆曲线方程^[4]（详见公式2）：

公式2

图2曲导线扭面坐标示意图

假设曲线被n条素线分割，则分割角度为90°/n，i为第n根素线，n≥0，若从直线与曲线相交处起为第一根素线，可以求得圆弧与素线交点方程（详见公式3）：

公式3

渠道直线段被n条素线分割，假设对应的直线两端点为E（x_E,y_E,z_E），F（x_F,y_F,z_F）则其与素线交点为（详见公式4）：

公式4

通过矢量法^[4]求得曲导线扭面(锥状面)方程为（详见公式5）：

公式5

2. 基于AUTOCAD快速建模

   1. CAD建模方法

AUTOCAD三维建模给较为复杂的渐变段实体结构提供一种新的绘图方式。不仅可以直观的展示三维实体，还能提供查询实体体积。优于于传统的二维平面出图、断面平均法计算工程量。

建模过程中首先需要用3dploy命令绘制的扭面两端断面轮廓，且需生成闭合线框。对于CAD建模如果两个端面边数相同的扭面过渡段，仅需要连接一条侧棱作为导向线，对于边数不同的端面，需要将汇交的侧棱连接起来作为导向线^[5]，因此第二步采用line命令连接轮廓点作为导向线至关重要。最后采用loft放样命令即可生成三维实体渐变段（或者曲面）。并且可以通过特性中曲面（放样）调整直线扭面显示的素线条数。

1. 2. 建模实例

某工程渐变段为连接梯形明渠和U型渡槽。该渠道设计流量1.6m³/s，渐变段长度为10m，水面扩散角为7°。由于水位和断面流速不同，渐变段存在水力损失，所以渐变段底坡通常非平坡，其底坡为1:100。现取渐变段前后两端横断面图，渡槽端底宽2.4m，高1.85m，U型直墙0.65m，圆半径0.75m，渡槽端断面面积2.581m

²；梯形渠道内坡比1:0.75，底宽1m，渠深1.6m；外轮廓底宽2.6m，高2.0m，背坡1:0.35，渠道端断面面积3.08m²，分别见图3，图4。

通过2.1节中的方法，在渡槽圆弧底端需分别连接渠道内坡底端，生成直纹扭面渐变段如图5。在Autocad中通过massprop命令可轻松获取渐变段总体积为28.623 m³。工程中常两个断面平均值估算渐变段体积，即：0.5×（2.581+3.08）×10=28.305m³；误差在1%。

图3渐变段渡槽端断面

图4 渐变段渠道端断面

图5 渐变段实体半模型

3. 结束语

本文通过直线曲面特性，推导U型渡槽渐变段表面扭面空间坐标表达式。理论公式可指导实际施工过程中开挖放线和模板铺设。

在AUTOCAD中，结合实际例子快速完成建立渐变段三维模型。该方法可直观反映直纹扭面形状，与推导的理论公式相互印证。

通过查询实体特性，可获取三维实体渐变段的工程量，既快速又准确。

4. 参考文献：

1.吴正厚, 张军. 不同形式渡槽渐变段水力特性数值模拟研究[J]. 水利科技与经济, 2016(3):22-26.

2.殷佩生 吕秋灵. 画法几何及水利工程制图(第6版)[M]. 高等教育出版社, 2015:186-190.

3.张宽地, 裴金萍, 刘海军,等. 扭面土方量的计算方法及其工程应用[J]. 西北农林科技大学学报(自然科学版), 2005, 33(9):146-148.

4.同济大学数学教研室. 高等数学 下册 第七版[M]. 高等教育出版社, 2015.

5.张圣敏, 李永丽. 水工建筑物曲面CAD建模导向线探析[J]. 黄河水利职业技术学院学报, 2012(04):16-19.