浅议反比例函数的比例系数k

李博

反比例函数是学生认识的第一个图像为曲线，且自变量有范围限制的函数，因此，比起所学的一次函数，反比例函数有一定的难度，同时它又是为二次函数的学习提供了一定的认知基础，所有反比例函数有很重要的意义.

一 、反比例函数中比例系数k与图形面积的关系

( 点 为y轴上任意一点) (点 为x轴上任意一点) (点 为y轴上任意一点)

(AB//x轴,点 为x轴上任意一点) (AB//x轴,点 为x轴上任意一点) (P、P’关于原点对称)

二、模型应用

例1 如图，平行四边形OABC的对角线交于点D双曲线y= （x＞0）经过C、D两点，双曲线y= （x＞0）经过点B，则平行四边形OABC面积为　 　．

解 ：方法一 数形结合 几何意义法

分别过点D，B作x轴的垂线DE、BF.延长BC交y轴于点G, 过点C作x轴的垂线CH.∵在双曲线y= 上∴ ,

∵四边形OABC是平行四边形，∴OD= ∵ ,易证：

∴ ,∴ k＞0∴k=2∵四边形OABC是平行四边形，∴

方法二 代数运算 坐标法

∵平行四边形OABC的对角线交于点D，∴OD=BD，
设B ，∴D ，C的纵坐标是 ∴ =2，∴ ,

∵ BC=OA，∴平行四边形OABC的面积=BC×点C的纵坐标=

例2 如图菱形ABCD的顶点B、D在y= （k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是______

方法 数形结合 几何意义法

解 ：分别过点A，D作x轴的垂线AE、DF.

∵四边形ABCD是菱形 ∴ . 易证： ,

∴ ∵A（﹣1，2）, ∴

∵菱形的边长为5, ∴ ∴ ∴ .

∴ ∴k＞0∴k=8.

例 3 如图，△OAB的顶点A在双曲线y＝ （x＞0）上，顶点B在双曲线y＝ （x＜0）上，AB中点P恰好落在y轴上，则△OAB的面积为_______　

解 ：过点A、B分别作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足为M、N，
∵P是AB的中点，∴OM=ON，又∵∠AMP=∠BNP=90°，∠APM=∠BPN，
∴△APM≌△BPN，∵顶点A在双曲线y＝ 上，顶点B在双曲线y＝ 上

∴ ，∴

三、模型总结

解决反比例函数比例系数求解问题，可以使用代数运算的方法，但代数变形要求比较高，使用几何意义方法，数形结合，往往能出其不意，化繁为简.