活用直观操作,助力思维融合——人教版“平行四边形的面积”的教学实践研究

(整期优先)网络出版时间:2021-01-15
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活用直观操作,助力思维融合 ——人教版“ 平行四边形的面积”的教学实践研究

汤金涛

浙江省 杭州市萧山区所前镇第一小学 311254


【内容提要】“平行四边形的面积”是人教版小学五年级上册第六单元的教学内容。这部分内容是在学生已经学习了长方形和正方形面积计算,以及认识了平行四边形特征的基础上进行教学的。也是后面三角形和梯形面积计算的认知基础。本课中笔者充分运用模型直观、操作直观和图形媒体直观,将直观与操作贯穿课堂学习,从“玩”七巧板开始介入学生的课堂学习,渗透到图形之间的转化和学生数学建模,引发学生的探索欲望,通过剪拼图形建立平行四边形和长方形的联系,用数格子来验证猜想,再用方格图和几何画板探求平行四边形的变化规律。五年级的学生已经有一定的抽象和归纳能力,但在探究平面图形的面积和变化时,仍需要大量的直观演示进行辅助教学。

【关键词】转化直观模型

平面几何图形的认识,贯穿了整个小学数学教学。面积教学在其中占据了很大篇幅,而平行四边形面积的教学更是其中的关键环节。如何让学生真正体会到从平行四边形到长方形的转化?怎样帮助学生建立平行四边形的底和高与长方形的长和宽之间的联系?是笔者思考的两个问题。笔者试图用“七巧板”模型来引领孩子体会从平行四边形到长方形的转化,在剪拼纸片和数格子等实践中发现平行四边形面积和长方形面积计算的关系,再通过对图示、数据等的比较,构建平行四边形面积计算的算法和算理,最后会选择合理的方法具体运用到生活实际。

一、运用模型,渗透转化思想

借助“七巧板”数学模型,可以使学生研究平行四边形面积的兴趣大幅提升,本教学环节设计让学生在玩的过程中经历数学问题的产生,有效提升学生对数学学习和探究的欲望,观察“七巧板”所拼成的长方形,初步感知图形的转化,思考个性图案的面积,感悟“形变而面积不变”的几何原理。

1.“玩”模型,经历数学问题的产生

“七巧板”作为学习模型,对孩子非常有吸引力,通过创拼七巧板的游戏活动,容易激发全体学生内在的创造力,把数学问题的产生贯穿于游戏环节,由学生自主提问,使孩子产生一定认知碰撞,为后续实践和认知布阶梯。

老师创设用七巧板拼图作为引入环节,让学生在课堂伊始便充满活力和求知欲。在学生跃跃欲试时教师提出了活动和思考的要求:

①同桌一起,在本子上拼出你们最喜欢或者认为最漂亮的图案进行展示;

②思考:根据你所拼成的图案,你会提出怎样的数学问题?

学生自主拼图时往往会拼出与众不同或奇形怪状的组合图形,因此在思考问题提出时会进行有效的思考,会不自觉地往已有的长方形和正方形面积计算的认知基础靠拢,并提出与面积计算有关的数学问题,使得问题提出更有针对性,思维发展更具连贯性,知识迁移更有层次性。不断引发认知碰撞,引发孩子主动思考的愿望。

2.“看”模型,体会图形空间的转化

在平行四边形面积研究中,“转化”是最主要的数学思想,利用七巧板图形变换,来初步感知转化,建立图形面积与孩子已有认知基础的联系。

在学生互相分享个性拼图成果时提出问题:你知道自己拼的图案面积是多少吗?你能想办法求它的面积吗?

6001373985a43_html_4737bc5535d16a8e.gif 在学生最纠结的时刻,教师展示用相同七巧板拼成的长方形,通过所提供的长方形的边长,从而得到长方形的面积和面积计算公式,为后续建立从一个图形面积计算到另一个图形面积计算的推理埋下伏笔;再联想到所拼成的个性图案的与老师所呈现的长方形面积相同,让学生在潜移默化中体会到“转化”这一数学思想。

3.“想”模型,感悟数学思维的发生

“有所思”才能“有所得”。在学生经历了问题提出和得到图形面积后,教师及时进行问题补充:是不是我们刚才拼得的所有不同图案的面积都是50cm²?为什么?

通过对该问题的思考和讨论,最终形成“不管七巧板拼成什么图案,它的面积始终是不变”的数学结论,让学生明白“形变而面积不变”的几何原理,充实进一步“转化”的理论依据,使数学思维真正发生,并充分感受几何图形的魅力和数学学习的严谨。

二、注重操作,促进数学建模

在本课的图形面积计算公式的推导中,用纯文本形式表述,显然太枯燥和抽象。必须借助于不同的直观教学,通过模型直观让学生验证猜测,操作直观让学生经历从平行四边形到长方形的转化,用操作直观,来搭建面积计算的数学模型,建立两种图形各部分之间的联系,用图形直观,让孩子理解算理,丰富知识脉络。

  1. 模型直观的“形变”——验证数学猜测

在得到所有个性七巧板图案的面积都是50cm²后,投影呈现一个已知底、高和斜边长度的平行四边形,让学生猜测它的面积是多少和算法。学生基本呈现两种答案:部分学生能说出正确答案和计算过程,用底乘高来计算(10×5=50cm²),但基本只能凭借生活经验,对图形计算仅有朦胧的感觉,对于此计算的算理是不太明白的;还有的学生用相邻两条边相乘来进行计算(10×7=70cm²),这部分学生显然是受长方形面积计算的知识负迁移所影响。

6001373985a43_html_e1dfac559663f496.gif 此时教师再用多媒体呈现由七巧板所拼得的平行四边形图案,告诉学生就是由刚才的七巧板时,学生都能瞬间明白:刚才所讨论的图形面积就是50cm²,由此得到该平行四边形的面积就是由底乘高来进行计算。

  1. 操作直观的“实践”——搭建数学模型

学生在课堂中的实践,是探索新知和发现规律的重要手段,合理的实践,能有力激起探索欲望,调动学习热情,发展发散思维。用实践操作,可以帮助他们搭建平行四边形面积计算的数学模型,建立两种图形各部分之间的联系,有效规避由长方形面积计算带来的“相邻两边相乘即面积”的知识负迁移。

  1. 在问题引领下思考操作

用问题引领学生的思考和研究,是我们常用的教学方法。教师对学生提出设问:是不是所有的平行四边形面积都可以用底乘高来计算呢?

学生在此设问的基础上进行实践操作,比较有针对性。

(2)在实践操作中进行比较

转化是数学学习的重要思想方法,而动手操作正是学生体会转化的必要手段。在设问后及时让小组同学将平行四边形卡片,通过运用剪拼活动,要求学生把平行四边形纸片转化为已知的图形,再通过测量和计算求出剪拼前后纸片的实际面积,。

在剪与拼的实践中,孩子亲身体验到由平行四边形转化为长方形的过程,从而深层次理解了平行四边形面积是由底乘高进行计算的意义。

6001373985a43_html_a202ddc2eb280aa3.gif 转化完图形后,教师又及时进行了追问:为什么平行四边形的面积计算是底乘高?它们和长方形有什么关系?学生通过观察原有图形和剪拼后图形变化情况,就能及时得出长方形就是原来的平行四边形,长就是原来的底,宽就是原来的高,进而由长方形面积计算公式总结出平行四边形的面积就是底乘高,完整搭建了平行四边形面积计算的数学模型。

  1. 图形直观的“数数”——丰富知识脉络

数格子是学生学习平面几何的主要方法,也是学生认知图形计算的有效手段。在本课中,用“数格子”来验证平行四边形面积计算公式,可以加深学生对计算方法和算理的理解。

6001373985a43_html_90e90d2fbee914f7.gif 学生充分理解了平行四边形面积计算公式后,教师又提供了方格图,让孩子们通过数格子的方法来计算如右图的面积。孩子在观察图形后纷纷自觉地将未满一格都以半格进行统计,再将“半格量除以二加满格量”后,算出平行四边形的面积。

教师在学生数出面积后追问:还可以用其他方法来计算它的面积吗?学生就会用剪拼的方式想到求面积,并再次体会到转化思想,对面积计算公式的认知进一步加深。

三、借助直观,完善知识体系

数学学习需要及时的操练,通过操练,可以检查学生对课堂新知的掌握和理解程度,也可以反馈老师的课堂教学效果。在平面几何教学中,课堂练习可以利用直观图和多媒体直观提供给学生有层次的练习题,既能巩固孩子的课堂新知,又能适度提升孩子们对新知的认识理解;既有对数和形的观察理解,也有对生活场景的解读;既可以发现数学的内涵,又能扩展数学的外延。本环节中,先让学生根据图形求简单的面积和高,对课堂学习进行巩固;再是稍复杂的组合图形,通过联系生活观察和寻找不同图形联系;最后是思考同底等高图形的大小关系,以及大小相同是否等底等高,扩展孩子的数学感知。

1.利用直观,巩固学生当前知识点

6001373985a43_html_951951474f81b516.gif 运用直观图形,让学生进行课堂练习,帮助学生及时巩固新知掌握。因此设计了三个直接计算面积的简单练习。前两幅图由平行四边形方位不同,帮助学生认识到底和高的方位是可以调整的,第三小题呈现了相对应的不同的底和高,在学生选择过程中,帮助学生建立底和高师互相垂直的概念。

平面图形面积计算中的逆向推理,是学生计算的一个易错点,尤其是三角形和梯形中,已知面积和部分线段,求高或底边长度,更是练习中的难点。设计已知图形面积和高(或底),计算对应的底(或高),使学生进行逆向思维,为后续三角形和梯形的逆推提供思维阶梯。

  1. 运用直观,提升学生已有认知线

数学来源于生活,又应用于数学。把练习内容和生活场景有机结合,使数学学习生活化,让孩子建立学以致用的数学观,扩展数学视野。

6001373985a43_html_5762a19ccc6326be.gif 我们把课本习题进行适当改变,把单一的求平行四边形面积的图形题转变为与生活相关联的求车位面积的现实题,使得数学与生活紧密结合。在思考阴影部分面积时,不再是用底乘高的方法,而是需要将整个图形进行适当剪拼,从A和B作为上下两边的中点这一条件入手,寻找大小两个图形之间有何关系,得到停车位面积就是整个图形面积的一半。让学生明白图形计算并不是都要依靠公式,观察和比较也是解决问题的有效手段,破解思维定势;在思考和交流的同时,孩子对平行四边形与面积计算的认知也得到了提升。

3.借用直观,触发学生最近发展区

数学课堂不仅要着眼于提升孩子已有的认知水平,更要着眼于提升孩子的最近发展区。基于此,我们在设计课堂习题时,应适当扩展数学学习的外延。我们通过向学生提供已经画有一条4㎝线段的方格纸,让学生以这条线段为底,画出多个底是4㎝,高是3㎝的平行四边形。,并让学生思考两个问题:①这些平行四边形之间的底和高有什么联系?②它们的面积之间又能什么联系?

6001373985a43_html_d5f7c7c007ab674a.gif 学生观察几何画板所演示的各个图形演变后,就会发现它们存在同底等高的联系,进而也发现它们之间的面积都相等,并最终总结出规律:同底等高(等底等高)的平行四边形面积相同。

教师再提出问题:面积相等的平行四边形,一定是等底等高吗?学生在方格纸上画面积是12cm²的图形并量出它们的底和高,孩子通过上述实践操作发现,它们的底和高并不是都一样的,并通过讨论后得到结论:面积相等的平行四边形,不一定等底等高。

用画图与观察动画演示,能让学生明白,等底等高的平行四边形的形态是可以不断发生变化的,而大小相同的平行四边形的底和高也是可以变化的。通过直观,让学生能以动态发展的视角去审视平面图形的演变,主动触发最近发展区。


不同的知识间往往有着诸多的联系,我们要引导学生去探求它们的联系。通过发掘生活中各种学习介质,让学习充分融汇到孩子的生活和活动。因此,在本课教学中,把平面图形的转化融入各类直观演示和实践操作中,使数学思维真正发生。