基于“构造法”的高中数学解题思路探索

刘丽娟

摘要：构造法是指根据问题的条件和结论特征，从新的角度观察、分析问题，抓住条件与结论之间的内在联系，把握问题的数量、结构等本质特征，构造出满足条件或结论的新的问题形式，从而使问题获解的方法.正确而恰当地运用构造法，能使复杂问题简单化，抽象问题具体化。鉴于此，文章结合笔者多年工作经验，对基于“构造法”的高中数学解题思路探索提出了一些建议，仅供参考。

关键词：“构造法”;高中数学;解题思路;探索

引言

构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法．在高中数学解题指导中，构造法的应用能够激发学生主动调用函数、方程、几何图形、数列等知识，促使学生实现创新思考与逻辑探究，提升学生的解题能力。

一、高中数学解题教学过程中的误区

（一）缺乏创造性解题思路

在多数情况下，高中数学教师在为学生讲解习题时都是直接以课本例题为基础进行单项讲授，让学生掌握了某种题型的解题思路以后，然后去模仿这种方式来解决其他相似的问题。表面看学生已经掌握了如何解决这类题，实际上其只是掌握了一种固有模式，并没有真正理解解题思路，一旦题目发生细微的变化，学生便没有解题思路。

（二）偏离教材内容

很多高中教师在为学生讲解习题时，自己进行题目类型的筛选，再结合自身的教学经验来为学生传授解题方法，让学生用固定的模式去解决问题，虽然能够提高分数，但会让学生的思维拓展受到影响。教师在教学中忽视了对教材内容的渗透，久而久之就会让学生依赖教师传授的方式来学习，而不是通过课本和自身思考去寻找解题思路，难以让学生掌控，对以后的学习也是不利的。

二、基于构造法的高中数学解题思路探索

（一）构造法在函数解题中的运用

运用构造法解决抽象函数的不等式问题，是应用导数研究函数单调性问题的延伸，也是常见的函数性质考察方式．在抽象函数不等式问题中，导数的出现比较隐晦，因为这类问题要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一个新函数的单调性．通常难点有两个，其一是如何利用已有条件构造可以确定单调性的函数，即构造什么样的函数?其二是导数形式比较明朗，即容易构造，难点在于待求不等式与构造函数的关联。在面对“导函数”这一必学知识点时，运用构造法，帮助学生根据现有的条件使用构造法对函数进行解答，并且找出函数的性质，接着运用图形加以论证结果的正确性。因此，在解决这类问题的过程中，运用构造函数的方法可以帮助化繁为简，而且依靠构造法本身的灵活性和技巧性帮助学生更加直白地明白题目的含义。构造法解决抽象函数不等式的过程关键在于构造，构造的过程类似于积分求原函数的过程，既要满足条件，又要能完成单调性的判断．所以在解决本类问题时应熟练掌握常见函数及其四则运算的导数，能迅速找到还原信息，并能抓住题目给定条件或待求式的自变量特征，将其与构造函数关联，从而完成问题求解。

（二）构造方程

方程与数量关系、函数等知识之间存在密切联系．在解题中根据条件构造出一个新的方程往往能够打开解题思路，获得更加便捷的解决方法。方程在问题转化中有着更加灵活的应用，而教师应结合问题启发学生思考解题过程，即明确方程转化的条件，如何结合题目特点设计方程，讨论方程相关性质，即判别式与韦达定理，最后将方程结论转化为题目结论，完成对问题的有效解答。

（三）借助构造法求数列通项公式

求数列通项公式是高中数列习题中常见的题型。求解该类题型的常规思路主要有利用数列定义、求解公式、利用通项公式与前n项和之间的关系等。但是，部分习题较为特殊，学生采用常规思路，很难对其进行解答，可考虑运用构造法将其转化为能够使用常规思路解决的形式。为使学生牢固掌握并灵活应用构造法求解数列的通项公式，教师应注重为学生讲解相关的解题技巧，使其掌握一般的构造法思路，在解题中少走弯路。例如，对于 （p，q为常数，pq≠0且p≠1）形式的递推式，学生可通过在两边同时加上合适的常数λ构造新的数列。同时，教师要注重筛选与讲解相关例题，使学生亲身感受构造法在求解数列通项公式中的具体应用，把握构造数列时应注意的问题，遇到类似题型能够尽快求解出正确结果。高中数列习题中能够使用构造法求解通项公式的习题类型较多。在授课时，教师应注重引导学生做好相关题型及构造思路的总结。

（四）构造法在图形解题中的运用

高中数学知识学习过程中，数形结合是非常重要的数学思想，被大量使用在各种类型的数学题目当中，学生通过图形构造法可以帮助认识到问题的关键所在，例如运用构造直角三角形来解决函数中的一些常出现的问题。直角三角形有其直角的特点常常被用在解决数学问题中，帮助学生将抽象的问题变的具象化。

（五）借助构造法证明数列不等式

以数列为背景证明不等式的试题技巧性强，难度较大，常作为压轴题。在解题中，构造方程、构造函数、构造新数列等是常用的构造思路。在教学中，为使学生厘清和掌握构造法证明数列不等式的思路与技巧，教师既要注重通过具体例题为学生逐一讲解常用的构造思路，又要注重挑选优秀的习题对学生进行训练，提高学生的解题能力，使其积累运用构造法证明数列不等式的经验。同时，教师还要鼓励学生做好训练总结，做好错题的摘抄，认真分析做错的原因，明确相关题型的证明关键点，在证明类似问题时少走弯路。

三、构造法在高中数学解题应用中需注意的问题

构造法在高中数学解题中的应用十分广泛，但是通过对学生解题过程与解题效果的观察，可以发现许多学生对于构造法的掌握存在问题，无法细致观察题目，在构造模型的过程中也常常一头雾水．针对此，教师在教学指导中，应注重方法，帮助学生掌握构造法的本质含义，并实现灵活自主运用．在解题指导中，教师首先应注重对学生观察能力的培养．构造法属于创新思维方法，需要学生在细致观察中灵活调用所学知识．教师在教学指导中，应鼓励学生主动观察，为学生创设发现问题的情境，并结合问题渗透数学定理、解决数学难题的事例，融入一些富有趣味性的练习，让学生通过自己的观察、分析，发现题目之间的联系，并激发其主动构造的兴趣，提高观察能力．其次，教师应注重对学生思维发展过程的培养．构造法的运用是思维不断深化发展的过程，教师在教学设计中应精心编创问题，促使学生多角度地思考，经历假设分析、举例验证、反问推理等一些列抽象思考过程，让思路从思维定势的框架中跳出来，用一种全新的思维方式解答问题;此外，教师还应结合例题启发学生思考，鼓励学生表达，并在手脑口并用中加深印象，深化学生对数学知识的思考与应用，同时提升学生的思维品质。

结束语

总之，构造法是解答各类数学题常用且重要的方法之一。它的内涵十分丰富，构造的形式也不尽相同。同学们在运用构造法解题时一定要弄清对什么进行构造，构造成什么，以及如何构造，然后再利用所构造的数学模型的性质去解答问题。

参考文献

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