昆明市第十四中学
例1:如图,正方体 中,P为底面 上的动点, 于E,且 则点P的轨迹是( )
A .线段 B.圆 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
解析:
连结 ,可证 ,即 ,即点E是体对角线 上的定点,直线AE也是定直线. ,∴动点P必定在线段AE的中垂面 上,则中垂面 与底面 的交线就是动点P的轨迹,所以动点P的轨迹是线段.故选A
例2:在正方体 中,点 是侧面 内一个动点,它到直线 与直线 的距离相等,则动点 的轨迹所在曲线是 ( )
A.直线 B.圆 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
解析:本题是立体几何与解析几何相结合的一道题目,学生难在空间问题如何转化为平面问题,即解析几何问题。这里动点 到直线 的距离易作出,难在 到直线的距离 的距离是什么。因 垂直平面 ,所以,即点 到点 的距离与 到直线 的距离相等。所以动点 在侧面 内的轨迹是一段抛物线。
评注:动点轨迹主要是把空间的关系转化为平面内动点所具有的特性。这类问题综合了平面几何、立体几何、解析几何等知识,渗透了数形结合思想,转化与化归思想,分类讨论思想,对第一次碰到此类问题的学生有较好的检测功能。
二、与距离有关的动态问题
例3 :如图,在棱长为2的正方体 中,点 是 的中点,动点 在底面 内(不包括边界),若 平面 ,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
解 析 如图,在 上取中点 ,在 上取中点 ,连接
, 且 ,
易知平面 平面 ,则动点 的轨迹是 (不含 两点)
又 平面 ,则当 时, 取得最小值
此时,
评注:本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题,关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹,从而找到最值取得的点.
例4:长方体 中, 且,一只小虫子从点 沿长方体的表面爬到点 处,则小虫子的最短行程是多少?
解析:当小虫子沿侧面 与侧面 到 时,将二侧面展开铺平,在平面 内,连 即为最短行程,记为 。同理可得,从 到 最短行程还可能为,
因为 ,所以 ,。所以小虫子爬最短行程为
评注:沿表面的最短行程常用展开图求解。
三、与体积有关的动态问题
例5、线段 ,分别在棱长为 的正方体 的棱 与 上移动,则四面体 的体积是__________
解析:评注:解决这类问题的关键是寻找其中的不变关系和不变的量。因为 为定长,且在固定的棱上运动,故我们可取两线段的特殊位置求体积,即当 与 重合, 与 重合时几何体的体积。
例6:在棱长为4的正方体 中,点 是 的中点, 是正方形 内的动点(含边界),且满足 ,则三棱锥 的体积最大值是( )
A. B. C. D.
解析:因为在棱长为4的正方体 中, 是 中点,点 是正方形 内的动点(含边界),且满足 ,所以 ,所以 ,即 ,
令点P在DC上的投影点为O, , ,所以 ,
整理得 ,根据函数单调性可得当 时, 有最大值为16,所以 的最大值为 ,因为 ,所以三棱锥 体积最大值为: ,故选D.
评注:本题考查了空间几何体中的最值问题,关键是利用几何图形的相似,把空间线段的比例关系转化到同一个平面内,转化为平面几何问题,列出式子,借助函数求解即可。
四、与折叠有关的动态问题
例7:如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE,若M是线段A1C的中点,则△ADE在翻折过程中,下列命题:
①线段BM的长是定值; ②存在某个位置,使DE⊥A1C;
③点M的运动轨迹是一个圆; ④存在某个位置,使得MB⊥面A1DE.
正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解 析:
取 的中点 ,连接 ,易知四边形 为平行四边形,所以①正确,④不正确;
由于线段BM的长是定值,所以 在以 为球心的球面上,③不正确;
不妨设 ,由题意可得 , ,所以 ,即 ;
若②成立,可得 平面 ,此时 ,矛盾,故②不成立。故选A.
评注:翻折问题的处理关键是要抓住折叠前后的不变量,达到以静制动的效果,不变元素可结合原平面图中求解,变化了的元素应在折后立体图形中来求证。
五、与函数有关的动态问题
例8:如图,四棱锥 的底面是边长为2的正方形, 平面 ,且 , 是 上的一个动点,过点 作平面 平面 ,截棱锥所得图形面积为 ,若平面 与平面 之间的距离为 ,则函数 的图象是( )
A. B.C. D.
解 析 过点 作 交AB于点N,过点 作 交PC于点F,过点 作 交CD于点E,连接EF.则面 平面 , .
由 平面 ,可得 平面 ,
平面 与平面 之间的距离为 ,且 为直角梯形.
由 , 得 ,
所以 . .
故选D。
评注:点、线、面的变化必然导致位置关系或一些量的变化,在具体问题中,让变量变化,考虑由此变化所引发的其他量的变化,构建目标函数,则可将立体几何问题用函数方法来解决。
立体几何动态问题的类型较多,本文所呈现的是其中较为常见的几种。对于立体几何中的动态问题,教师要引导学生克服惧怕心理,多加练习,在具体解题时,要善于从多角度思考,寻求运动变化的实质,从而使问题获得灵活解决,。
参考文献:童志明 立体几何中的运动问题 中学数学研究 2007年第七期
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