例说立体几何中的动态问题

(整期优先)网络出版时间:2021-01-15
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例说立体几何中的 动态问题

茶开妍

昆明市第十四中学

立体几何中的“动态问题”,是指空间图形中的某些点、线、面的位置关系是不确定的,可变的一类开放问题。对学生来说,解决这类问题,对其空间想象能力,逻辑推理能力的要求更高,难度一般比较大。但又因为这类问题是可变的,开放的,更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养。这类问题往往把立体几何知识和其他部分的知识有机地结合起来,解决问题的关键就是转化与化归,把空间问题转化为平面问题来解决。本文归纳了几类动态问题,希望对大家解决立体几何中的动态问题有所启发。

一、与轨迹有关的动态问题

6000fb11e1f15_html_d9141f9f8069b7a4.png1如图,正方体6000fb11e1f15_html_addb41510fc45945.gif 中,P为底面6000fb11e1f15_html_2616166809f543c5.gif 上的动点,6000fb11e1f15_html_857af917c3987160.gifE,且6000fb11e1f15_html_29d1223cb9417480.gif 则点P的轨迹是( )




A6000fb11e1f15_html_41f23e8735e81cad.png .线段 B.圆 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

解析:




连结6000fb11e1f15_html_ebdf9b84a1406691.gif ,可证6000fb11e1f15_html_fce694af8f3e1f1a.gif ,即6000fb11e1f15_html_ed7b1d87307869f7.gif ,即点E是体对角线6000fb11e1f15_html_f44335bef771e3c1.gif 上的定点,直线AE也是定直线.6000fb11e1f15_html_cbc4e7c505dcc80e.gif ,∴动点P必定在线段AE的中垂面6000fb11e1f15_html_913439287dbaab95.gif 上,则中垂面6000fb11e1f15_html_913439287dbaab95.gif 与底面6000fb11e1f15_html_2616166809f543c5.gif 的交线就是动点P的轨迹,所以动点P的轨迹是线段.故选A

2在正方体6000fb11e1f15_html_addb41510fc45945.gif 中,点6000fb11e1f15_html_7b3ccc37611fe527.gif 是侧面6000fb11e1f15_html_20dc67a098ddf245.gif 内一个动点,它到直线6000fb11e1f15_html_25e3e51c557f71a.gif 与直线6000fb11e1f15_html_defd438d52cd0607.gif 的距离相等,则动点6000fb11e1f15_html_7b3ccc37611fe527.gif 的轨迹所在曲线是 ( )

A.直线 B.圆 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

解析:本题是立体几何与解析几何相结合的一道题目,学生难在空间问题如何转化为平面问题,即解析几何问题。这里动点6000fb11e1f15_html_7b3ccc37611fe527.gif 到直线6000fb11e1f15_html_25e3e51c557f71a.gif 的距离易作出,难在6000fb11e1f15_html_7b3ccc37611fe527.gif 到直线的距离6000fb11e1f15_html_defd438d52cd0607.gif 的距离是什么。因6000fb11e1f15_html_defd438d52cd0607.gif 垂直平面6000fb11e1f15_html_20dc67a098ddf245.gif ,所以,即点6000fb11e1f15_html_7b3ccc37611fe527.gif 到点6000fb11e1f15_html_aa889739b750e18d.gif 的距离与6000fb11e1f15_html_7b3ccc37611fe527.gif 到直线6000fb11e1f15_html_25e3e51c557f71a.gif 的距离相等。所以动点6000fb11e1f15_html_7b3ccc37611fe527.gif 在侧面6000fb11e1f15_html_20dc67a098ddf245.gif 内的轨迹是一段抛物线。

评注:动点轨迹主要是把空间的关系转化为平面内动点所具有的特性。这类问题综合了平面几何、立体几何、解析几何等知识,渗透了数形结合思想,转化与化归思想,分类讨论思想,对第一次碰到此类问题的学生有较好的检测功能。

二、与距离有关的动态问题

3 如图,在棱长为2的正方体6000fb11e1f15_html_fba379aac9b0e363.gif 中,点6000fb11e1f15_html_acc2474494d71480.gif6000fb11e1f15_html_32200af34c2e0242.gif 的中点,动点6000fb11e1f15_html_b17178b19d97ebee.gif 在底面6000fb11e1f15_html_ef306cbf79f398ad.gif 内(不包括边界),若6000fb11e1f15_html_dfaa80b0a20dac09.gif 平面6000fb11e1f15_html_ef8369976e3603ff.gif ,则6000fb11e1f15_html_7d55aeaa9e9a2ae8.gif 的最小值是( )

6000fb11e1f15_html_10295db2c97b6f43.png





A6000fb11e1f15_html_b0ae9cb23ac3daf1.gif B6000fb11e1f15_html_2c739849d206575f.gif C6000fb11e1f15_html_1b927301d1a8acc.gif D6000fb11e1f15_html_db32f30c8dfcc4f5.gif

6000fb11e1f15_html_8a5516ead4fcf06.png 如图,在6000fb11e1f15_html_7aaabf7a7f6f35f9.gif 上取中点6000fb11e1f15_html_d1e2779b54eae2f.gif ,在6000fb11e1f15_html_a52098aee7cf07c3.gif 上取中点6000fb11e1f15_html_8f0959fb3008c0ba.gif ,连接6000fb11e1f15_html_d1beb13dbf22d63e.gif

6000fb11e1f15_html_fd396c660a952014.gif6000fb11e1f15_html_58c9d4af67953058.gif6000fb11e1f15_html_f50eed1c7bf1045c.gif6000fb11e1f15_html_ff2db5579628a253.gif

易知平面6000fb11e1f15_html_e5bec45f208b11ff.gif 平面6000fb11e1f15_html_ef8369976e3603ff.gif ,则动点6000fb11e1f15_html_b17178b19d97ebee.gif 的轨迹是6000fb11e1f15_html_eeb7f2c90f315041.gif (不含6000fb11e1f15_html_1cd1a725fc5d72e1.gif 两点)

6000fb11e1f15_html_95de3480a3066567.gif 平面6000fb11e1f15_html_ef306cbf79f398ad.gif ,则当6000fb11e1f15_html_8439cd3744007758.gif 时,6000fb11e1f15_html_7d55aeaa9e9a2ae8.gif 取得最小值

此时,6000fb11e1f15_html_6fff545f3263260e.gif6000fb11e1f15_html_f76f632a1c33d9b8.gif


评注:本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题,关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹,从而找到最值取得的点.

4长方体6000fb11e1f15_html_e652a40ef5852629.gif 中,6000fb11e1f15_html_510ea7eec02af781.gif6000fb11e1f15_html_b1ccdc19ad2400a.gif一只小虫子从点6000fb11e1f15_html_3fd2d032472dd069.gif 沿长方体的表面爬到点6000fb11e1f15_html_aa889739b750e18d.gif 处,则小虫子的最短行程是多少?

解析:当小虫子沿侧面6000fb11e1f15_html_c2c83a94cb2d9662.gif 与侧面6000fb11e1f15_html_a6e09268d0db0876.gif6000fb11e1f15_html_aa889739b750e18d.gif 时,将二侧面展开铺平,在平面6000fb11e1f15_html_3bf0b4ea14ebeac5.gif 内,连6000fb11e1f15_html_949f4ceaf47fc108.gif 即为最短行程,记为6000fb11e1f15_html_a111e79f6bd30737.gif 。同理可得,从6000fb11e1f15_html_3fd2d032472dd069.gif6000fb11e1f15_html_aa889739b750e18d.gif 最短行程还可能为6000fb11e1f15_html_3daea3acc94e2f6a.gif6000fb11e1f15_html_b4af78aa8b0674f5.gif

因为6000fb11e1f15_html_b1ccdc19ad2400a.gif ,所以6000fb11e1f15_html_c4b844313637cf03.gif ,。所以小虫子爬最短行程为6000fb11e1f15_html_cc0bac4f9f23248e.gif

评注:沿表面的最短行程常用展开图求解

三、与体积有关的动态问题

5线段6000fb11e1f15_html_7918d26628cc2372.gif ,分别在棱长为6000fb11e1f15_html_6b6c4d70016cb5b2.gif 的正方体6000fb11e1f15_html_e652a40ef5852629.gif 的棱6000fb11e1f15_html_d07eabf82567c767.gif6000fb11e1f15_html_704a216219ac7d68.gif 上移动,则四面体6000fb11e1f15_html_8584be087b6462c1.gif 的体积是__________

解析:6000fb11e1f15_html_b7e8facc36a28ea4.gif评注:解决这类问题的关键是寻找其中的不变关系和不变的量。因为6000fb11e1f15_html_32aa2e0713079e1d.gif 为定长,且在固定的棱上运动,故我们可取两线段的特殊位置求体积,即当6000fb11e1f15_html_8ca17564540ad462.gif6000fb11e1f15_html_86c4787fdf1d0c16.gif 重合,6000fb11e1f15_html_7b3ccc37611fe527.gif6000fb11e1f15_html_aa889739b750e18d.gif 重合时几何体的体积。

6在棱长为4的正方体6000fb11e1f15_html_fba379aac9b0e363.gif 中,点6000fb11e1f15_html_acc2474494d71480.gif6000fb11e1f15_html_25e3e51c557f71a.gif 的中点,6000fb11e1f15_html_b17178b19d97ebee.gif 是正方形6000fb11e1f15_html_5069fb0497eed910.gif 内的动点(含边界),且满足6000fb11e1f15_html_27098f047a13e295.gif ,则三棱锥6000fb11e1f15_html_6fd1e75afce044b9.gif 的体积最大值是( )

A.6000fb11e1f15_html_c15d7fe16f9035e.gif B.6000fb11e1f15_html_2c07abed19a37610.gif C.6000fb11e1f15_html_bc20a5e6522df9f0.gif D.6000fb11e1f15_html_b3b8e3ac15460a35.gif

解析:因为在棱长为4的正方体6000fb11e1f15_html_981165a7b3312099.gif 中,6000fb11e1f15_html_f2704a8f969ffda5.gif6000fb11e1f15_html_c7896421e744c809.gif 中点,点6000fb11e1f15_html_efc3757a9fdf02cb.gif 是正方形6000fb11e1f15_html_5069fb0497eed910.gif 内的动点(含边界),且满足6000fb11e1f15_html_27098f047a13e295.gif ,所以6000fb11e1f15_html_16bb8ba879aff826.gif ,所以6000fb11e1f15_html_8f4b998a432b718d.gif ,即6000fb11e1f15_html_dccd1645919f529e.gif ,

令点P在DC上的投影点为O,6000fb11e1f15_html_2b2c9a85924d2eb1.gif6000fb11e1f15_html_90b23719b7159b46.gif ,所以6000fb11e1f15_html_649d10c32654b302.gif

整理得6000fb11e1f15_html_6b18eab8c6d76304.gif ,根据函数单调性可得当6000fb11e1f15_html_7be85d3110811422.gif 时,6000fb11e1f15_html_cf167f95d958dac7.gif 有最大值为16,所以6000fb11e1f15_html_bffeef7d0c1f1bb6.gif 的最大值为6000fb11e1f15_html_644815791370c21.gif ,因为6000fb11e1f15_html_dc533f0e5f48546b.gif ,所以三棱锥6000fb11e1f15_html_7ee2c26d2904367a.gif 体积最大值为:6000fb11e1f15_html_62b7102171c82c1a.gif ,故选D.

评注:本题考查了空间几何体中的最值问题,关键是利用几何图形的相似,把空间线段的比例关系转化到同一个平面内,转化为平面几何问题,列出式子,借助函数求解即可。

四、与折叠有关的动态问题

7如图,已知矩形ABCD中,AB=2ADE为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE,若M是线段A1C的中点,则△ADE在翻折过程中,下列命题:

6000fb11e1f15_html_c6a8efb7d7cd9442.png



①线段BM的长是定值; ②存在某个位置,使DEA1C

③点M的运动轨迹是一个圆; ④存在某个位置,使得MB⊥面A1DE.

正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

6000fb11e1f15_html_c873267e1a45468c.png 析:





6000fb11e1f15_html_88d2844c35e4bdfe.gif 的中点6000fb11e1f15_html_fc5c5ae28e18b3e.gif ,连接6000fb11e1f15_html_1910ea71f13856d1.gif ,易知四边形6000fb11e1f15_html_423767460a416b55.gif 为平行四边形,所以①正确,④不正确;

由于线段BM的长是定值,所以6000fb11e1f15_html_f2704a8f969ffda5.gif 在以6000fb11e1f15_html_cf06161755d3bf8.gif 为球心的球面上,③不正确;

不妨设6000fb11e1f15_html_d2911b5f628905db.gif ,由题意可得6000fb11e1f15_html_b7d17934049f64aa.gif6000fb11e1f15_html_20afd8903af0690a.gif ,所以6000fb11e1f15_html_123a6a6e0aa533ea.gif ,即6000fb11e1f15_html_ed6977d80058bf78.gif ;

若②成立,可得6000fb11e1f15_html_b79e9ea82bdda1df.gif 平面6000fb11e1f15_html_6bffa9aaaeb2d1b2.gif ,此时6000fb11e1f15_html_b849c644ce76219d.gif ,矛盾,故②不成立。故选A.

评注:翻折问题的处理关键是要抓住折叠前后的不变量,达到以静制动的效果,不变元素可结合原平面图中求解,变化了的元素应在折后立体图形中来求证。

五、与函数有关的动态问题

6000fb11e1f15_html_27420875bd609fd6.png8如图,四棱锥6000fb11e1f15_html_b7968e7c4c502f74.gif 的底面是边长为2的正方形,6000fb11e1f15_html_f164d01e4dc3819f.gif 平面6000fb11e1f15_html_ef306cbf79f398ad.gif ,且6000fb11e1f15_html_51072376cc287682.gif6000fb11e1f15_html_acc2474494d71480.gif6000fb11e1f15_html_d0555f8f90232f55.gif 上的一个动点,过点6000fb11e1f15_html_acc2474494d71480.gif 作平面6000fb11e1f15_html_99f42a4dcef8742f.gif 平面6000fb11e1f15_html_c250518161783018.gif ,截棱锥所得图形面积为6000fb11e1f15_html_7aab15d900617856.gif ,若平面6000fb11e1f15_html_581243ff0dbc70fd.gif 与平面6000fb11e1f15_html_c250518161783018.gif 之间的距离为6000fb11e1f15_html_b68c7f93d2a43aaf.gif ,则函数6000fb11e1f15_html_fd79739209b885a8.gif 的图象是( )





A6000fb11e1f15_html_c74a6066f5b1755.png B6000fb11e1f15_html_23f139d465209eec.pngC6000fb11e1f15_html_e86bd6d7da056f47.png D6000fb11e1f15_html_df33285d3f412927.png


6000fb11e1f15_html_3830efe9f2cd198a.png 过点6000fb11e1f15_html_720c5051596d88fe.gif6000fb11e1f15_html_571f45a2d4ed682f.gif 交AB于点N,过点6000fb11e1f15_html_720c5051596d88fe.gif6000fb11e1f15_html_34c1280fe167fd5c.gif 交PC于点F,过点6000fb11e1f15_html_cab6baa81b0fda3.gif6000fb11e1f15_html_e27a9b6372dd20c2.gif 交CD于点E,连接EF.则面6000fb11e1f15_html_3531660cd63db122.gif 平面6000fb11e1f15_html_c250518161783018.gif6000fb11e1f15_html_c4c88ffcd4b6395b.gif .

6000fb11e1f15_html_f164d01e4dc3819f.gif 平面6000fb11e1f15_html_ef306cbf79f398ad.gif ,可得6000fb11e1f15_html_3ae4c8b8ef16113f.gif 平面6000fb11e1f15_html_ef306cbf79f398ad.gif

平面6000fb11e1f15_html_581243ff0dbc70fd.gif 与平面6000fb11e1f15_html_c250518161783018.gif 之间的距离为6000fb11e1f15_html_7f2f0dbae7c72324.gif ,且6000fb11e1f15_html_b2adbbefc030819d.gif 为直角梯形.

6000fb11e1f15_html_571f45a2d4ed682f.gif6000fb11e1f15_html_34c1280fe167fd5c.gif6000fb11e1f15_html_ae04dfb4d460ea2b.gif6000fb11e1f15_html_1cae438c5b51880f.gif

所以6000fb11e1f15_html_545f0a39033dd13c.gif .6000fb11e1f15_html_1fc4dcb95e4f92dc.gif .

故选D。

评注:点、线、面的变化必然导致位置关系或一些量的变化,在具体问题中,让变量变化,考虑由此变化所引发的其他量的变化,构建目标函数,则可将立体几何问题用函数方法来解决。

立体几何动态问题的类型较多,本文所呈现的是其中较为常见的几种。对于立体几何中的动态问题,教师要引导学生克服惧怕心理,多加练习,在具体解题时,要善于从多角度思考,寻求运动变化的实质,从而使问题获得灵活解决,。


参考文献:童志明 立体几何中的运动问题 中学数学研究 2007年第七期



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